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5.2. CONSTRUCCIÓN DE SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS 75
y se tiene la sucesión exacta de álgebras de Hopf (ver [DL, Thm. 6.3]):
1 → u ɛ (g) −→ Γ ɛ (g) Fr −→ U(g) Q(ɛ) → 1.
Si definimos U(l) Q(ɛ) := Fr(Γ ɛ (l)), entonces U(l) Q(ɛ) es una subálgebra de U(g) Q(ɛ) y el siguiente
diagrama conmuta
u ɛ (g)
Γ ɛ (g)
Fr U(g) Q(ɛ)
(5.5)
u ɛ (l)
Γ ɛ (l)
Fr
U(l) Q(ɛ) ,
donde Fr es la restricción de Fr a Γ ɛ (l).
Observación 5.2.5. (a) Sea l el conjunto de elementos primitivos P (U(l) Q(ɛ) ) de U(l) Q(ɛ) . Entonces
l es una subálgebra de Lie de g, ya que U(l) Q(ɛ) ⊂ U(g) Q(ɛ) y g = P (U(g) Q(ɛ) ). De hecho l es
regular en el sentido de [D1], ver la Definición A.0.1 en el Apéndice. En efecto, de la definición se sigue
que l debe ser la subálgebra de Lie generada por el conjunto {h i , e j , f k : 1 ≤ i ≤ n, α j ∈ I + , α k ∈ I − }.
Así, tenemos que l = l + ⊕ h ⊕ l − , donde l ± = ∑ α∈Ψ ±
g α , con Ψ ± = {α ∈ Φ : Sup α = I ± }.
(b) Ker Fr es el ideal bilátero I de Γ ɛ (l) generado por el conjunto
{
E (m)
j
(
Kαi ; 0
k
,
m
, F (m)
)
}
, K αi − 1 : 1 ≤ i ≤ n, α j ∈ I + , α k ∈ I − , m ≥ 0, l ∤ m ,
y coincide con I l . En efecto, por [DL, Thm. 6.3] sabemos que Ker Fr = J l y éste coincide con el
ideal bilátero generado por
{
E (m)
i
(
Kαi ; 0
i
,
m
, F (m)
)
}
, K αi − 1 : 1 ≤ i ≤ n, m ≥ 0, l ∤ m .
Como por el Lema 5.2.2, la base de Γ ɛ (l) como R-módulo está contenida en la base de Γ ɛ (g), se
tiene entonces que Ker Fr = Ker Fr ∩Γ ɛ (l) = J l ∩ Γ ɛ (l) = I l y éste coincide con el ideal I.
(c) Por [DL, Thm. 6.3], sabemos que el morfismo Γ l /[χ l (q)Γ l ] → U(g) Q(ɛ) inducido por el
morfismo cuántico de Frobenius es biyectivo. Puesto que por definición se tiene que Θ l ⊆ Γ l y
U(l) Q(ɛ) = Fr(U(g) Q(ɛ) ), por el Lema 5.2.2 se sigue que Θ l ∩ χ l (q)Γ l = χ l (q)Θ l y el morfismo
Θ l /[χ l (q)Θ l ] → U(l) Q(ɛ) también es biyectivo.
La siguiente proposición enumera algunos propiedades de u ɛ (l) que usaremos más adelante.
Proposición 5.2.6.
(a) La sucesión de álgebras de Hopf
1 → u ɛ (l) j −→ Γ ɛ (l) Fr −→ U(l) Q(ɛ) → 1 (5.6)
es exacta.
(b) Existe un epimorfismo de álgebras ψ : Γ ɛ (l) → u ɛ (l) tal que ψ| uɛ(l) = id.