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12 CAPÍTULO 2. EXTENSIONES DE ÁLGEBRAS DE HOPF
es una sucesión de álgebras de Hopf.
Sean A y B dos álgebras de Hopf. Denotemos por Reg(B, A) al grupo de morfismos lineales de
B a A que son inversibles con respecto al producto de convolución. Definimos entonces
Reg 1 (B, A) ={α ∈ Reg(B, A) : α(1) = 1},
Reg ε (B, A) ={α ∈ Reg(B, A) : εα = ε},
Reg 1,ε (B, A) = Reg 1 (B, A) ∩ Reg ε (B, A).
Claramente, los conjuntos Reg 1 (B, A), Reg ε (B, A) y Reg 1,ε (B, A) son subgrupos de Reg(B, A).
Un A-comódulo álgebra es un álgebra C que es simultáneamente un A-comódulo cuyo morfismo
de estructura ρ : C → C ⊗ A es un morfismo de álgebras. Si R = {c ∈ C : ρ(c) = c ⊗ 1} es la
subálgebra de coinvariantes a derecha de C, decimos que C es una A-extensión de R. Una extensión
de álgebras es hendida si existe γ en Reg 1 (A, C) tal que ργ = (γ ⊗ id)∆; un tal γ se denomina una
sección.
Un A-módulo coálgebra es una coálgebra C que es simultáneamente un A-módulo cuyo morfismo
de estructura µ : A ⊗ C → C es un morfismo de coálgebras. Si D = C/A + C es la coálgebra de
coinvariantes, decimos que C es una A-extensión de D. Una extensión de coálgebras es hendida si
existe ξ en Reg ε (C, A) tal que ξ(ac) = aξ(c) para todo a ∈ A, c ∈ C; un tal ξ se denomina una
retracción.
La siguiente definición fue dada por varios autores; ver por ejemplo [A1, Def. 3.1.14].
Definición 2.1.3. Sea 1 → B −→ ι A −→ π H → 1 una sucesión exacta de álgebras de Hopf.
Decimos que A es una extensión hendida del álgebra de Hopf B por el álgebra de Hopf H, si existe
una sección γ ∈ Reg 1 (H, A) de una extensión de álgebras y una retracción ξ ∈ Reg ε (A, B) de una
extensión de coálgebras que satisface una de las siguientes condiciones equivalentes para todo a ∈ A:
(i) γ −1 (π(a)) = S(a (1) )ξ(a (2) );
(ii) γ(π(a)) = ξ −1 (a (1) )a (2) ;
(iii) ξ −1 (a) = γ(π(a (1) ))S(a (2) );
(iv) ξ(a) = a (1) γ −1 (π(a (2) ));
(v) ξγ = ε H 1 B .
El siguiente resultado es una consecuencia de [Sch2, Thm. 2.2].
Teorema 2.1.4. Una extensión de álgebras de Hopf de dimensión finita es siempre hendida.
Sea 1 → B ι −→ A π −→ H → 1 una sucesión exacta de álgebras de Hopf de dimensión finita. Por el
Teorema 2.1.4 tenemos que la extension A de B por H es hendida y por lo tanto, existe una sección
γ en Reg 1 (H, A). Usando esta sección, se puede construir una acción débil de B en H y un 2-cociclo
σ ∈ Reg(H ⊗ H, B) que le dan a A una estructura de producto cruzado B# σ H de B con H, donde
B# σ H = B ⊗ H como espacios vectoriales. La acción débil de H en B se define como sigue:
h · b = γ(h (1) )bγ −1 (h (2) ),