Abrir - RDU - Universidad Nacional de Córdoba

30 CAPÍTULO 3. SOBRE ÁLGEBRAS DE HOPF DE DIMENSIÓN P 3
no trivial y el orden de cada grupo es menor a p 2 . Supongamos que G(H) es no trivial. Entonces
dim H = p|G(H)| y de la fórmula (1.1) se sigue que S 4p = id. Por lo tanto, por la proposición
anterior, H debe ser punteada y por [AS2, Thm. A (ii)], H es isomorfa a un álgebra de Taft.
Sea H un álgebra de Hopf de dimensión finita y supongamos que G(H) es abeliano de orden
p n , n ≥ 0. Siguiendo la clasificación de grupos abelianos finitos, decimos que G(H) es de tipo
(p i 1
, p i 2
, . . . , p is ) si G(H) ≃ Z/(p i 1
) × . . . × Z/(p is ). Supongamos además que G(H ∗ ) también es
abeliano y su orden es una potencia de p.
Definición 3.1.5. Decimos que el álgebra de Hopf H es de tipo (p i 1
, . . . , p i s
; p j 1
, . . . , p j t
) si
G(H) y G(H ∗ ) son de tipo (p i 1
, . . . , p is ) y (p j 1
, . . . , p jt ) respectivamente.
Si H es un álgebra de Hopf no semisimple de dimensión p 3 , entonces G(H) y G(H ∗ ) son abelianos
y sus órdenes son potencias de p, por el Teorema 1.1.23. Salvo dualidad, se tienen sólo 10 tipos
posibles. A continuación probamos que es posible clasificar 8 de los 10 tipos posibles.
Teorema 3.1.6. (a) No existe álgebra de Hopf H de dimensión p 3 tal que H o H ∗ es de uno de
los siguientes tipos:
(1; 1), (p, p; 1), (p, p; p), (p, p; p 2 ), (p 2 ; 1).
(b) Sea H un álgebra de Hopf no semisimple de dimensión p 3 .
(i) Si H es de tipo (p, p; p, p), entonces H ≃ T (q) ⊗ k[Z/(p)].
(ii) Si H es de tipo (p 2 ; p), entonces H ≃ r(q).
(iii) Si H es de tipo (p 2 ; p 2 ), entonces, o bien H ≃ ̂T (q), o bien H ≃ ˜T (q).
Demostración. De la clasificación de Masuoka se sigue que ningún álgebra de Hopf semisimple
satisface alguna de las condiciones en (a). Entonces, si existe un álgebra de Hopf H que satisface una
de las condiciones anteriores, H debe ser no semisimple. El tipo (1; 1) es imposible por Observación
1.1.21. Para los otros tipos, se tiene que |G(H)| = p 2 y por la fórmula (1.1), el orden de la antípoda
divide a 4p 2 . Por lo tanto, por la Proposición 3.1.3, H debe ser punteada. Comparando los casos
con la lista, se sigue que los casos en (a) son imposibles y en el caso (i), H debe ser isomorfa a
T (q) ⊗ k[Z/(p)], en el caso (ii), H debe ser isomorfa a r(q) y en el caso (iii), H debe ser isomorfa,
o bien a ̂T (q), o bien a ˜T (q).
Observación 3.1.7. Del Teorema 3.1.6 y el Corolario 2.2.3 se sigue que un álgebra de Hopf H
de dimensión p 3 es isomorfa a un álgebra de Hopf de la lista (a), . . . , (k) de la introducción o H
satisface la condición (I), (I*) o (II), i.e. H es extraña y su tipo es, o bien (p; 1), o bien (1; p), o
bien (p; p).
Observación 3.1.8. De la clasificación de Masuoka se sigue que no existe álgebra de Hopf semisimple
de dimensión p 3 de tipo (p; 1) o de tipo (p; p). Los núcleos de Frobenius-Lusztig u q (sl 2 ),
q ∈ G p {1} son de tipo (p; 1) y las álgebras libro h(q, m), q ∈ G p {1}, m ∈ Z/(p) {0} son de
tipo (p; p). Éstas son las únicas álgebras de Hopf no semisimples y punteadas de tipo (p; 1) o (p; p),
ver [AS2, Section 6].