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4.1. ÁLGEBRAS DE COORDENADAS CUANTIZADAS 45
para todo 1 ≤ i ≤ n y λ ∈ M.
Demostración. Ver [J, Cap. 4].
Para t, m ∈ N 0 y u ∈ Q(q) {0, ±1} usamos la siguiente notación para q-números:
[t] u : = ut − u −t
[ ] m
u − u −1 , [t] [m] u !
u! := [t] u [t − 1] u · · · [1] u ,
:=
t [t] u ![m − t] u !
(t) u := ut − 1
u − 1 , (t) u! := (t) u (t − 1) u · · · (1) u ,
( m
t
)
u
u
:=
(m) u !
(t) u !(m − t) u ! .
Definición 4.1.4. [DL, Section 3.4] El álgebra Γ(g) es la R-subálgebra de Ǔq(g) generada por
los elementos
(
Kαi ; 0
t
Kα −1
i
)
:=
t∏
s=1
E (t)
i
:= Et i
[t] qi !
F (t)
i
:= F i
t
[t] qi !
(
Kαi qi −s+1 )
− 1
qi s − 1
(1 ≤ i ≤ n),
(t ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n),
(t ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n),
(t ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n),
donde q i = q d i
para 1 ≤ i ≤ n.
Observación 4.1.5. De la misma forma se pueden definir las formas integrales Γ(b + ) y Γ(b − ) de
las subálgebras de Borel. Tomando las relaciones que las definen y usando resultados de Lusztig [L2],
se pueden obtener relaciones que definen Γ(g), ver [DL, Sec. 3.4]. Cabe observar que las mismas no
son necesariamente
(
independientes;
)
en particular, las relaciones (4.5) y (4.6) que siguen muestran
Kαi ; c
que los elementos
:= ∏ (
)
t K αi q c−s+1
i −1
t
s=1 qi s−1 están en la R-subálgebra generada por los
( )
Kαi ; 0
elementos de la forma
. Más aún, por Lusztig [L3, Cor. 3.1.9] se tiene que las relaciones
s
(4.16), (4.17) y (4.18) se satisfacen en Ǔq(g), y por lo tanto se satisfacen en Γ(g).
( )
todos los Kα −1 Kαi ; c
i
,
conmutan, (4.1)
t
( )
( )
Kαi ; c
Kαi ; 0
= 1, (q
0
i − 1)
= K
1
αi − 1, (4.2)
( ) ( ) ( ) ( )
Kαi ; c Kαi ; c − t t + s Kαi ; c
=
, t, s ≥ 0, (4.3)
t
s
t t + s
q
( ) ( ) (
i
)
Kαi ; c + 1
− q
t
i
t Kαi ; c Kαi ; c
=
, t ≥ 1, (4.4)
t
t − 1
( )
Kαi ; c
= ∑ ( ( )
p≤c,t
c Kαi ; 0
t
0≤p
q(c−p)(t−p)
i
, c ≥ 0, (4.5)
p)
t − p
q i