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36 CAPÍTULO 3. SOBRE ÁLGEBRAS DE HOPF DE DIMENSIÓN P 3
Con la identificación usual de espacios vectoriales de H y H ∗∗ , las aplicaciones f ˜R
y f R están
relacionadas por la ecuación f ˜R
= f ∗ R .
Observación 3.2.2. Sean L y K las imágenes de f R y f ˜R
respectivamente. Entonces L y K son
subálgebras de Hopf de H de dimensión n > 1, salvo que H sea coconmutativa y R = 1 ⊗ 1; a esta
dimensión se la denomina el rango de R. Por [R2, Prop. 2], se tiene que L ≃ K ∗cop .
Sea H R la subálgebra de Hopf de H generada por L y K. Si B es una subálgebra de Hopf
de H tal que R ∈ B ⊗ B, entonces H R ⊆ B. Por lo tanto, decimos que (H, R) es un álgebra de
Hopf cuasitriangular minimal si H = H R . En [R2, Thm. 1] se muestra que H R = LK = KL. Si
L es semisimple, entonces K es semisimple y por lo tanto H R es semisimple. Las álgebras de Hopf
cuasitriangulares minimales fueron introducidas y estudiadas por primera vez en [R2].
Recordamos ahora algunas propiedades fundamentales de álgebras de Hopf cuasitriangulares de
dimensión finita, para más detalles ver [Dr, Mo].
(i) El elemento R es inversible con inversa R −1 = (S ⊗ I)(R) = (I ⊗ S −1 )(R), y vale que
R = (S ⊗ S)(R).
(ii) Sea u = S(R (2) )R (1) , entonces u también es inversible, donde
(a) u −1 = R (2) S 2 (R (1) ),
(b) ∆(u) = (u ⊗ u)( ˜RR) −1 = ( ˜RR) −1 (u ⊗ u),
(c) ε(u) = 1,
(d) S 2 (h) = uhu −1 = (S(u)) −1 hS(u) para todo h ∈ H.
Consecuentemente, uS(u) es un elemento central de H. Como S 2 (h) = h para todo h ∈ G(H), se
sigue que u conmuta con los elementos de tipo grupo de H. A u ∈ H se lo llama el elemento de
Drinfeld de H.
Decimos que v ∈ H es un elemento cinta de (H, R) si las siguientes condiciones se satisfacen:
(R.1) v 2 = uS(u),
(R.2) S(v) = v,
(R.3) ε(v) = 1,
(R.4) ∆(v) = ( ˜RR) −1 (v ⊗ v) y
(R.5) vh = hv para todo h ∈ H.
Si H contiene un elemento cinta, entonces la terna (H, R, v) o simplemente H se dice un álgebra
de Hopf de cintas, ver [K, XIV. 6], [KR], [R4, Section 2.2].
El siguiente teorema será crucial para probar algunos resultados para el caso en el cual la
dimensión del álgebra de Hopf es p 3 .
Teorema 3.2.3. [Na1, Thm. 2.3] Sea H un álgebra de Hopf cuasitriangular de dimensión pq
sobre k, donde p y q son primos impares no necesariamente distintos. Entonces H es isomorfa a un
álgebra de grupo k[F ], donde F es un grupo de orden pq. En particular, H es semisimple.