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28 CAPÍTULO 3. SOBRE ÁLGEBRAS DE HOPF DE DIMENSIÓN P 3
tr T = 0, se tiene que
0 = tr T =
p n −1
∑
(dim V 0,i − dim V 1,i )ω i . (3.1)
i=0
Consideremos ahora el polinomio P ∈ Z[X] dado por P (X) = ∑ p n −1
i=0 (dim V 0,i − dim V 1,i )X i . Entonces
gr P ≤ p n − 1, P (ω) = 0 y el número de coeficientes de P no nulos es menor o igual a p, ya
que V = ⊕ a,i V a,i y dim V = p. Más aún, el polinomio minimal χ ω de ω sobre Q debe dividir a P .
En este caso, χ ω es el polinomio ciclotómico dado por
T (X) = X pn−1 (p−1) + X pn−1 (p−2) + · · · + X pn−1 + 1.
En efecto, como ω pn = 1 y X pn −1 = (X −1)T (X), se sigue que T (ω) = 0. Luego, T es minimal pues
ord T = p n−1 (p − 1) = ϕ(p n ) = gr χ ω , con ϕ la función ϕ de Euler. Por lo tanto, existe Q ∈ Z[X]
tal que P = Qχ ω , con Q = 0 o gr Q ≤ p n−1 − 1.
Si definimos
V + =
p⊕
n −1
i=0
V 0,i y V − =
p⊕
n −1
i=0
V 1,i ,
es claro que V = V + ⊕ V − . Si Q = 0, entonces P = 0 y se sigue que dim V 0,i = dim V 1,i para todo
0 ≤ i ≤ p n − 1. Pero esto implicaría que dim V + = dim V − , de donde se sigue que la dimensión de
V es par, lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, podemos asumir que Q no es el polinomio nulo. Supongamos que Q se escribe
de la forma Q(X) = ∑ p n−1 −1
j=0
d j X j , donde d m ≠ 0 para algunos 0 ≤ m ≤ p n−1 − 1. Como
χ ω (X) = X pn−1 (p−1) + X pn−1 (p−2) + · · · + X pn−1 + 1, se tiene que
⎛
P (X) = ⎝
p n−1 −1
∑
i=0
⎞ ⎛
⎞
∑p−1
d i X i ⎠ ⎝ (X pn−1 ) j ⎠ =
j=0
p n−1 ∑−1
i=0
p−1
⎝
⎛
∑
d i
j=0
X i+jpn−1 ⎞
⎠ .
Al ser el número de coeficientes no nulos de P distinto de cero y menor o igual a p, existe un
único l, 0 ≤ l ≤ p n−1 − 1 tal que d l ≠ 0 y d i = 0 para todo i ≠ l, 0 ≤ i ≤ p n−1 − 1. Por lo tanto,
l = m y entonces P (X) = d m X m χ ω , lo que implica que para todo 0 ≤ j ≤ p − 1, 0 ≤ i ≤ p n − 1 tal
que i ≠ m + jp n−1 se tiene que
dim V 0,m+jp n−1 − dim V 1,m+jp n−1 = d m , y dim V 0,i − dim V 1,i = 0.
De estas igualdades se sigue que dim V + − dim V − = d m p. Como dim V + + dim V − = p, se tiene que
p−1
⊕
⊕
V + = V 0,m+jp n−1 = V o V − = V 1,m+jp n−1 = V,
j=0
y esto implica que T p (v) = ±(ω m ) p v = ±ω mp v para todo v ∈ V .
El siguiente resultado da un ejemplo de cómo el orden de la antípoda ayuda a determinar la
estructura de un álgebra de Hopf.
p−1
j=0