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86 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS Sean Ǔɛ(b + ) y Ǔɛ(b − ) las subálgebras de Borel de la forma simplemente conexa Ǔɛ(g) del álgebra envolvente cuantizada de g (ver Definición 4.1.1), y sea A ɛ la subálgebra de Ǔɛ(b + )⊗Ǔɛ(b − ) generada por los elementos {1 ⊗ e j , f j ⊗ 1, K −λ ⊗ K λ : 1 ≤ j ≤ n, λ ∈ P }, donde P es el reticulado de pesos con P = ⊕ n i=1 Zϖ i ⊆ h ∗ . Por [DL, Sec. 4.3], esta álgebra tiene una base dada por el conjunto {fK −λ ⊗ K λ e} con λ ∈ P y e, f monomios en e α y f β respectivamente, α, β ∈ Q + . Más aún, A ɛ es un álgebra graduada por (Q − , P, Q + ), donde la graduación está dada por deg(f j ⊗ 1) = (−α j , 0, 0), deg(1 ⊗ e j ) = (0, 0, α j ), deg(K −λ ⊗ K λ ) = (0, λ, 0), para todo 1 ≤ j ≤ n, λ ∈ P . Más aún, por [DL, Lemma 4.3 y Prop. 6.5], existe un morfismo inyectivo de álgebras µ ɛ : O ɛ (G) → A ɛ tal que µ ɛ (O(G)) ⊆ A 0 , donde A 0 es la subálgebra de A ɛ generada por los elementos {1 ⊗ e l j, f l j ⊗ 1, K −lλ ⊗ K lλ : 1 ≤ j ≤ n, λ ∈ P }. Por lo tanto, basta mostrar que µ ɛ (Ker Res) ⊆ µ ɛ (Ker q). Afirmación: µ ɛ (Ker Res) es el ideal I generado por los elementos {1 ⊗ e k , f j ⊗ 1 : α k /∈ I − , α j /∈ I + }. En efecto, por [DL, Sec. 4.4] existen coeficientes matriciales ψ ±α ±λ , λ ∈ P + y α ∈ R + tales que ψ λ (F ME) = δ 1,E δ 1,F M(λ), ψ α −λ (EMF ) = ψ −λ (EMF E α), ψ −λ (EMF ) = δ 1,E δ 1,F M(−λ), ψ −α −λ (EMF ) = ψ −λ (F αEMF ), para todo elemento F ME de la base PBW de Γ ɛ (g), donde M ∈ Q y la forma M(λ) es simplemente la extensión lineal de la forma bilineal < α j , λ >= ɛ d i(α i ,λ) para todo λ ∈ P , 1 ≤ i ≤ n. Más aún, se tiene que µ ɛ (ψ −ϖi ) = K −ϖi ⊗ K ϖi , µ ɛ (ψ α k −ϖ i ) = K −ϖi ⊗ K ϖi e k , µ ɛ (ψ −α j −ϖ i ) = f j K −ϖi ⊗ K ϖi , para todo 1 ≤ i, j ≤ n. A través de un cálculo directo se ve que ψ α k −ϖ i , ψ −α j −ϖ i ∈ Ker Res y además µ ɛ (ψ ϖi ψ α k −ϖ i ) = 1 ⊗ e k µ ɛ (ψ −α j −ϖ i ψ ϖi ) = f j ⊗ 1. para todo α k /∈ I − , α j /∈ I + . Por lo tanto, los generadores de I están en µ ɛ (Ker Res). Supongamos ahora que h ∈ Ker Res y veamos que µ ɛ (h) ∈ I. Si h ∈ Ker Res, entonces h| Γɛ(l) = 0 y por definición se tiene que < µ ɛ (h), EM ⊗ NF >=< h, EMNF >= 0, para todo elemento EMNF de la base PBW de Γ ɛ (l). Así, usando la existencia de apareamientos perfectos (ver [DL, Sec. 3.2]) y evaluando en elementos adecuados, se sigue que todo término de la base {fK −λ ⊗ K λ e} que aparece en µ ɛ (h) debe estar en I.
5.3. DETERMINACIÓN DE SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS 87 Finalmente, si h ∈ Ker Res, entonces 0 = π L Res(h) = rπ(h) = ˆπq(h). Esto implica que q(h) ∈ Ker ˆπ = (C Γ ) + A = q(O(G) + O ɛ (G)). Entonces existen a ∈ O(G) + O ɛ (G) y c ∈ Ker q tales que h = a + c; en particular, para todo generador t de I tenemos que t = µ ɛ (a) + µ ɛ (c), donde µ ɛ (a) está contenido en A 0 . Comparando grados en ambos lados de la igualdad se sigue que µ ɛ (a) = 0, lo cual implica que cada generador de I está en µ ɛ (Ker q). El siguiente lema muestra la conveniencia de caracterizar a los cocientes A ɛ,l,σ de O ɛ (G) de dimensión finita como pushout. Lema 5.3.3. σ(Γ) ⊆ L y por lo tanto A es un cociente del álgebra de Hopf A ɛ,l,σ dada por el pushout. Más aún, el siguiente diagrama conmuta 1 O(G) ι O ɛ (G) π u ɛ (g) ∗ 1 res 1 O(L) ι L Res O ɛ (L) π L P u ɛ (l) ∗ 1 1 u C Γ j s ¯π A ɛ,l,σ u ɛ (l) ∗ 1 1 C Γ ˆι A t v ˆπ H 1. Demostración. Por el lema anterior tenemos que wι L conmuta ι L O(L) O ɛ (L) = ˆιu, es decir, el siguiente diagrama u C Γ j s w A ɛ,l,σ A. ˆι Como A ɛ,l,σ es un pushout, existe un único morfismo de álgebras de Hopf t : A ɛ,l,σ → A tal que ts = w y tj = ˆι. Esto implica que Ker ¯π = j(C Γ ) + A ɛ,l,σ ⊆ Ker ˆπt y por lo tanto el siguiente diagrama de sucesiones exactas de álgebras de Hopf es conmutativo 1 C Γ j A ¯π ɛ,l,σ u ɛ (l) ∗ 1 1 C Γ ˆι A t v ˆπ H 1. Sea (Σ, I + , I − ) la terna que determina H y s = n − |I + ∪ −I − |. Recordemos que, por la Observación 5.2.11, dar un grupo Σ tal que (Z/(l)) n−s ⊆ Σ ⊆ (Z/(l)) n es lo mismo que dar un subgrupo N ⊆ (Z/(l)) s . De hecho, por el tercer paso de la construcción dada en la sección anterior, sabemos que el álgebra de Hopf A ɛ,l,σ contiene un conjunto de elementos centrales de tipo grupo
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Álgebras de Hopf y Grupos Cuántic
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Índice general Resumen Abstract Ag
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Resumen En esta tesis discutimos al
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Abstract In this thesis we discuss
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Agradecimientos Esta tesis ha sido
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viii INTRODUCCIÓN mostró que dete
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x INTRODUCCIÓN En el Capítulo 3 d
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xii INTRODUCCIÓN Luego de estos do
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xiv INTRODUCCIÓN Finalmente, para
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Capítulo 1 Preliminares En este ca
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1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BÁS
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1.2. COHOMOLOGÍA DE GRUPOS 9 lo cu
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12 CAPÍTULO 2. EXTENSIONES DE ÁLG
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Page 136: central, 11 cleft, 52 del álgebra
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