Abrir - RDU - Universidad Nacional de Córdoba

xiv
INTRODUCCIÓN
Finalmente, para cada morfismo de grupos δ : N → ̂Γ, donde N es un grupo abeliano asociado a
Σ (ver Observación 5.2.11) y ̂Γ es el grupo de caracteres de Γ, se construye un ideal de Hopf J δ de
A ɛ,l,σ tal que el álgebra de Hopf A D := A ɛ,l,σ /J δ es una extensión de C Γ por u ɛ (l) ∗ , tiene dimensión
|Γ| dim H, es un cociente de O ɛ (G) y encaja en el siguiente diagrama de sucesiones exactas de
álgebras de Hopf
1 ι
O(G) O ɛ (G)
π u ɛ (g) ∗ 1
res
1 O(L)
ι L
Res
O ɛ (L)
π L
P
u ɛ (l) ∗ 1
1
t σ
C Γ
j
s
¯π
A ɛ,l,σ u ɛ (l) ∗
1
t
1
C Γ ˆι A D
ˆπ H 1.
Para probar que todo cociente de O ɛ (G) se puede construir de esta manera son cruciales los
siguientes hechos: todo cociente de A de O ɛ (G) encaja en una sucesión exacta central y se tiene el
siguiente diagrama conmutativo
v
1 O(G)
ι
O ɛ (G)
π
u ɛ (g) ∗
1
t σ q
1
C Γ ˆι A
r
ˆπ H 1.
Más aún, por la descripción de las subálgebras de Hopf de u ɛ (g), H resulta ser un cociente de u ɛ (l) ∗
y el diagrama anterior se factoriza de la siguiente manera
1 O(G)
ι
O ɛ (G)
π
u ɛ (g) ∗
1
t σ
res
1 O(L)
ι L
u q
Res
O ɛ (L)
1
C Γ ˆι A
w
π L
P
u ɛ (l) ∗
v
r
1
ˆπ H 1.
Al ser el álgebra de Hopf A ɛ,l,σ un pushout, se ve que A es el cociente de A ɛ,l,σ por un ideal de Hopf
J δ , para cierto morfismo de grupos δ.
La tesis está organizada de la siguiente manera. En el Capítulo 1 recordamos definiciones y
resultados básicos de la teoría de álgebras de Hopf y de cohomología de grupos.
En el Capítulo 2 desarrollamos algunas herramientas necesarias para probar los resultados mencionados
anteriormente. En particular, se estudian algunos hechos generales sobre extensiones de
álgebras de Hopf. Entre ellos mostramos que toda álgebra de Hopf que es una extensión de una
extensión de un álgebra de Taft T (q) de dimensión p 2 por un álgebra de grupo de orden p, con p
un primo impar y q una raíz p-ésima primitiva de la unidad, es necesariamente punteada. Además
describimos como construir extensiones centrales de álgebras de Hopf de dimensión finita a partir
de una sucesión exacta de álgebras de Hopf y dos epimorfismos.