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4.2. COCIENTES DE O ɛ (G) DE DIMENSIÓN FINITA 57
Definición 4.2.9. Sean Γ un grupo finito y σ 1 , σ 2 ∈ Emb(Γ, G). Decimos que σ 1 es equivalente
a σ 2 , y escribimos σ 1 ∼ σ 2 , si existen τ ∈ Aut(Γ), f ∈ qAut(G) y v ∈ Map(Γ, G) tales que
σ 1 (τ(x)) = f(σ 2 (x))v(x) para todo x ∈ Γ.
Notar que la función v está unívocamente determinada por σ 1 τ y fσ 2 con v(x) = f(σ 2 (x)) −1 σ 1 (τ(x))
para todo x ∈ Γ. Más aún, se tiene que v ∈ Z 1 f,σ 2
(Γ, G):
v(xy) = f(σ 2 (xy)) −1 σ 1 (τ(xy))
= f(σ 2 (y)) −1 f(σ 2 (x)) −1 σ 1 (τ(x))σ 1 (τ(y))
= f(σ 2 (y)) −1 f(σ 2 (x)) −1 σ 1 (τ(x))f(σ 2 (y))v(y)
= f(σ 2 (y)) −1 v(x)f(σ 2 (y))v(y).
Observación 4.2.10. Si el 1-cociclo v es un 1-coborde, entonces existe g ∈ G tal que v(x) =
∂(g)(x) = (g ↼ x)g −1 = f(σ 2 (x)) −1 gf(σ 2 (x))g −1 para todo x ∈ Γ y esto implica que
σ 1 (τ(x)) = gf(σ 2 (x))g −1 .
Esto es, σ 1 se obtiene a través de los automorfismos τ, f y la conjugación por un elemento de G.
Lema 4.2.11. ∼ es una relación de equivalencia en Emb(Γ, G).
Demostración. Debemos probar que ∼ es (a) reflexiva, (b) simétrica y (c) transitiva.
(a) Tomando f = id ∈ qAut(G), τ = id ∈ Aut(Γ) y v = 1 ∈ Zid,σ 1 (Γ, G) es claro que σ ∼ σ para
todo σ ∈ Emb(Γ, G). Por lo tanto ∼ es reflexiva.
(b) Supongamos que σ 1 ∼ σ 2 . Entonces existe τ ∈ Aut(Γ), f ∈ qAut(G) y v ∈ Z 1 f,σ 2
(Γ, G) tales
que
σ 1 (τ(x)) = f(σ 2 (x))v(x) para todo x ∈ Γ.
Por lo tanto, de la ecuación anterior se sigue que
σ 2 (τ −1 (x)) = f −1 (σ 1 (x))f −1 (v(τ −1 (x)) −1 ) = f −1 (σ 1 (x))ˆv(x),
para todo x ∈ Γ, donde ˆv está dado por ˆv(x) = f −1 (v(τ −1 (x)) −1 ). Como τ −1 ∈ Aut(Γ) y f −1 ∈
qAut(G), esto prueba que σ 2 ∼ σ 1 .
(c) Sean σ 1 , σ 2 , σ 3 ∈ Emb(Γ, G) y supongamos que σ 1 ∼ σ 2 y σ 2 ∼ σ 3 . Esto es, existen
f, g ∈ qAut(G), τ, t ∈ Aut(Γ) y v ∈ Z 1 f,σ 2
(Γ, G), u ∈ Z 1 g,σ 3
(Γ, G) tales que
σ 1 (τ(x)) = fσ 2 (x)v(x) y σ 2 (t(x)) = gσ 3 (x)u(x),
para todo x ∈ Γ. Usando ambas ecuaciones se tiene que
σ 1 (τ(x)) = f(g(σ 3 (t −1 (x)))u(t −1 (x)))v(x)
= f(g(σ 3 (t −1 (x))))f(u(t −1 (x)))v(x),
y por lo tanto se sigue que σ 1 (τt(x)) = f(g(σ 3 (x)))f(u(x))v(t(x)) = f(g(σ 3 (x)))ˆv(x), donde ˆv(x) =
f(u(x))v(t(x)) para todo x ∈ Γ. Como τt ∈ Aut(G) y fg ∈ qAut(Γ), se sigue σ 1 ∼ σ 3 .