Abrir - RDU - Universidad Nacional de Córdoba

APÉNDICE 93
Caso 1: g de tipo C n . Debemos ver que se verifica la desigualdad
k(2k + 1) + (n − k)(2n − 2k + 1) < 2n 2 para todo 1 ≤ k ≤ n − 1. (A.3)
Demostración. Sea 1 ≤ k ≤ n − 1. Entonces
k(2k + 1) + (n − k)(2n − 2k + 1) = 4k 2 + 2n 2 − 4nk + n < 2n 2
⇔ 4k 2 − 4nk + n < 0 ⇔ (2k − n) 2 + n − n 2 < 0.
Si n/2 < k ≤ n − 1 entonces 0 < 2k − n ≤ n − 2 y tenemos que
(2k − n) 2 − n(n − 1) < (n − 2) 2 − n(n − 1) < 0.
Si 0 < k ≤ n/2, entonces −n < 2k − n ≤ 0 y por ende 0 ≤ n − 2k < n, lo que implica que
(2k − n) 2 − n(n − 1) = (n − 2k) 2 − n(n − 1) < (n − 1) 2 − n(n − 1) < 0.
Caso 2: g de tipo D n . Debemos verificar la desigualdad
k(2k − 1) + (n − k)(2n − 2k − 1) < 2n 2 − 2n para todo 2 ≤ k ≤ n − 2. (A.4)
Demostración. Sea 2 ≤ k ≤ n − 2. Entonces
k(2k − 1) + (n − k)(2n − 2k − 1) = 4k 2 + 2n 2 − 4nk − n < 2n 2 − 2n
⇔ 4k 2 − 4nk + n < 0 ⇔ (2k − n) 2 + n − n 2 < 0.
Luego, la desigualdad (A.4) se sigue de la demostración del caso anterior.
Sea r una subálgebra reductiva de g tal que r está contenida en una subálgebra maximal regular
m. Si m es semisimple, entonces es reductiva y, por la Tabla A.1, verifica la desigualdad (A.2). El
siguiente lema nos ayudará a resolver el caso en el que m es parabólica. Recordar que por [Bk, Prop.
VIII.3.13] si p es una subálgebra parabólica de g, entonces p = s ⊕ n donde s es reductiva en g y n
es el radical nilpotente de p. Además el centro de p es nulo.
Lema A.1.4. Sea r una subálgebra reductiva de g y supongamos que r está contenida en una
subálgebra maximal regular parabólica p = s ⊕ n. Entonces r ⊆ s.
Demostración. Basta ver que r ∩ n = 0. Pero r ∩ n es un ideal nilpotente de r y por lo tanto está
contenido en el radical nilpotente de r. Pero r es un álgebra de Lie reductiva, y por ende su radical
nilpotente es nulo.
En la Tabla A.2 describimos la situación para las subálgebras maximales regulares del tipo g[α].
Como este tipo de subálgebras son no semisimples, en la tercera columna se denotará el tipo de
la subálgebra reductiva maximal m dada por la construcción de g[α] en el Teorema A.1.2: m es la
subálgebra generada por los elementos e β , e −β con β ∈ Π α y α. Este tipo de subálgebras es fácil de