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60 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Hf,σ 1 (Γ, Tfσ 0 ) α 1 ∗
Hf,σ 1 (Γ, Tfσ ) β1 ∗
Hf,σ 1 (Γ, T) · · ·
Como Γ y T son grupos finitos, el orden de Hf,σ 1 (Γ, T) es finito. Por lo tanto, basta probar que
|Hf,σ 1 (Γ, Tfσ 0 )| es finito, ya que en tal caso |H1 f,σ (Γ, Tfσ )| = | Im α∗|| 1 Im β∗| 1 también es finito.
Como T es cerrado, se sigue que f(σ(x))Tf(σ(x −1 )) es cerrado para todo x ∈ Γ. Luego, T fσ
también es cerrado, pues es la intersección de f(σ(x))Tf(σ(x −1 )) para todo x ∈ Γ. Entonces por el
Lema 4.2.16 (a), T fσ y consecuentemente T fσ
0 son d-grupos. Como T fσ
0 es conexo, se sigue por el
Lema 4.2.16 (b) que T fσ
0 es un toro. En particular, T fσ
0 es un grupo divisible.
Por [Br, Cor. III.10.2], sabemos que Hf,σ n (Γ, Tfσ 0 ) es anulado por m = |Γ| para todo n > 0.
Entonces, para todo α ∈ Zf,σ 1 (Γ, Tfσ 0 ) existe t ∈ Tfσ 0 tal que α m = ∂(t). Como T fσ
0 es divisible,
existe s ∈ T fσ
0 tal que t = s m . Sea β = ∂(s −1 )α, entonces β m = 1 y por lo tanto β ∈ Zf,σ 1 (Γ, D m),
donde D m = {t ∈ T fσ
0 | tm = 1}. Pero entonces [α] = [β] y por la inclusión de Zf,σ 1 (Γ, D m) en
Z 1 f,σ
(Γ, Tfσ 0
) se tiene una aplicación sobreyectiva
Hf,σ 1 (Γ, D m) → Hf,σ 1 (Γ, Tfσ 0 ).
Como T fσ
0 es un toro, se sigue que D m es un grupo finito y por lo tanto |Hf,σ 1 (Γ, D m)| es finito, lo
cual implica que |Hf,σ 1 (Γ, Tfσ 0 )| también es finito.
4.2.3. Clases de isomorfismos
En esta subsección estudiamos los isomorfismos entre las álgebras de Hopf A σ dadas por el
Teorema 4.2.4. En particular, probamos en el Teorema 4.2.23 que bajo ciertas condiciones, existe
una familia infinita de álgebras de Hopf de dimensión finita que son no isomorfas entre sí, no
semisimples, no punteadas y sus duales son no punteados.
Fijemos un grupo finito Γ y sean σ 1 , σ 2 ∈ Emb(Γ, G) y denotemos A i = A σi . Por el Corolario
4.2.6, sabemos que todo automorfismo de u ɛ (g) ∗ se puede levantar a un automorfismo de O(G), esto
es, la extensión O ɛ (G) de O(G) por u ɛ (g) ∗ satisface la propiedad (L). Veamos ahora que también
satisface la propiedad (Z).
Lema 4.2.18. La u ɛ (g) ∗ -extensión O ɛ (G) de O(G) satisface (Z).
Demostración. Como por hipótesis el orden l de la raíz de la unidad ɛ y el determinante de la
matriz simetrizada de Cartan DC son coprimos, de [AS1, Prop. A.3] se sigue que los núcleos de
Frobenius-Lusztig u ɛ (g) son simples como álgebras de Hopf, es decir, no poseen subálgebras de Hopf
normales propias no triviales. Observar que, si g no es de tipo A n , siempre se cumple que ord l y
det DC son coprimos. Luego, Z(u ɛ (g) ∗ ) = C, puesto que de lo contrario u ɛ (g) ∗ tendría una subálgebra
de Hopf central propia v y en ese caso, u ɛ (g) ∗ sería una extensión de v por u ɛ (g) ∗ /v + u ɛ (g) ∗ .
Esto implicaría por dualidad la existencia de una subálgebra de Hopf normal propia en u ɛ (g) dual
a u ɛ (g) ∗ /v + u ɛ (g) ∗ , lo cual es imposible, ya que u ɛ (g) es simple. Por lo tanto, u ɛ (g) ∗ satisface la
propiedad (Z).