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80 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Sea Γ un grupo finito y σ : Γ → G una inclusión en G tal que σ(Γ) ⊆ L := Alg(O(L), C). Se
tiene entonces un epimorfismo de álgebras de Hopf t σ : O(L) → C Γ tal que el siguiente diagrama
conmuta
O(G) O(L)
Así, aplicando la construcción pushout dada en la Proposición 2.3.1, obtenemos un álgebra de
Hopf de dimensión finita A ɛ,l,σ la cual es parte de una sucesión exacta de álgebras de Hopf y encaja
en el siguiente diagrama conmutativo
t σ
C Γ
1 O(G)
ι
O ɛ (G)
π
u ɛ (g) ∗
1
(5.11)
res
1 O(L)
ι L
Res
O ɛ (L)
π L
P
u ɛ (l) ∗ 1
1
t σ
C Γ
j
s
A ɛ,l,σ
¯π u ɛ (l) ∗ 1.
En particular, dim A ɛ,l,σ = |Γ| dim u ɛ (l).
5.2.3. Tercer Paso
En esta subsección realizamos el tercer y último paso de la construcción. Éste consta, esencialmente,
de tomar el cociente por un ideal de Hopf generado por diferencias de elementos de tipo
grupo centrales de A ɛ,l,σ . El punto crucial aquí es la descripción de H como cociente de u ɛ (l) ∗ y la
existencia de un morfismo de coálgebras ψ ∗ : u ɛ (l) ∗ → O ɛ (L).
Recordemos que fijamos un epimorfismo de álgebras de Hopf r : u ɛ (g) ∗ → H y que H ∗ está
determinada por la terna (Σ, I + , I − ). Como la subálgebra de Hopf u ɛ (l) está determinada por la
terna (T, I + , I − ) con Σ ⊆ T , tenemos que H ∗ ⊆ u ɛ (l) ⊆ u ɛ (g) lo que implica que H es un cociente
de u ɛ (l) ∗ y el siguiente diagrama conmuta
u ɛ (g) ∗ P u
ɛ (l) ∗
v
r
H.
Observación 5.2.11. Por el Corolario 5.1.4, sabemos que K αi ∈ Σ para todo α i ∈ I = I + ∪ −I − .
Por lo tanto (Z/(l)) n−s ⊆ Σ ⊆ (Z/(l)) n = (Z/(l)) n−s × (Z/(l)) s , donde n − s es el cardinal de I.
Si denotamos Ω = Σ ∩ (Z/(l)) s , se sigue claramente que
Σ ≃ (Z/(l)) n−s × Ω.
En efecto, si x ∈ Σ entonces existen x 1 ∈ (Z/(l)) n−s y x 2 ∈ (Z/(l)) s tales que x = x 1 + x 2 . Como
(Z/(l)) n−s ⊆ Σ, se sigue que x 1 ∈ Σ y por lo tanto x 2 ∈ Ω. Así, Σ se descompone como un producto,