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84 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS {∂ z − δ(z)|z ∈ N} y el siguiente diagrama de sucesiones exactas de álgebras de Hopf es conmutativo 1 O(G) ι O ɛ (G) π u ɛ (g) ∗ 1 res 1 O(L) ι L Res O ɛ (L) π L P u ɛ (l) ∗ 1 1 t σ C Γ j s ¯π A ɛ,l,σ u ɛ (l) ∗ 1 t 1 C Γ ˆι A D ˆπ H 1. Demostración. Por la Observación 5.2.11, N determina un subgrupo Σ de (Z/(l)) n y la terna (Σ, I + , I − ) da lugar a un epimorfismo r : u ɛ (g) ∗ → H de álgebras de Hopf. Si σ : Γ → L ⊆ G es inyectivo, por los primeros dos pasos se puede construir un álgebra de Hopf A ɛ,l,σ que es un cociente de dimensión |Γ| dim u ɛ (l) de O ɛ (G), donde u ɛ (l) es la subálgebra de Hopf de u ɛ (g) asociada a la terna (T, I + , I − ). Más aún, por el Lema 5.2.13 (b), H es el cociente de u ɛ (l) ∗ por el ideal bilátero (D z − 1| z ∈ N). Si δ : N → ̂Γ es un morfismo de grupos y ̂Γ ≃ Alg(C[Γ], C) = G(C Γ ), entonces los elementos δ(z) son elementos de tipo grupo centrales en A ɛ,l,σ para todo z ∈ N. Luego, el ideal bilátero J δ de A ɛ,l,σ generado por el conjunto {∂ z − δ(z)|z ∈ N} es un ideal de Hopf. Así, por la Proposición 2.3.2 la siguiente sucesión es exacta 1 → C Γ /J → A ɛ,l,σ /J δ → u ɛ (l) ∗ /¯π(J δ ) → 1, donde J = J δ ∩ C Γ . Como ¯π(∂ z ) = D z y ¯π(δ(z)) = 1 para todo z ∈ N, tenemos que ¯π(J δ ) es el ideal bilátero de u ɛ (l) ∗ dado por (D z − 1| z ∈ N), lo que implica por el Lema 5.2.13 (b) que u ɛ (l) ∗ /¯π(J δ ) = H. Por lo tanto, si denotamos A D := A ɛ,l,σ /J δ , la sucesión exacta anterior se escribe de la forma 1 → C Γ /J → A D → H → 1. (5.13) Entonces, para finalizar la demostración basta ver que J = J δ ∩ C Γ = 0. Claramente, J δ coincide con el ideal bilátero (∂ z δ(z) −1 −1| z ∈ N) de A ɛ,l,σ . Más aún, Υ = {∂ z δ(z) −1 |z ∈ N} es un subgrupo de elementos de tipo grupo centrales de G(A ɛ,l,σ ) y J δ = (g − 1|g ∈ Υ). Luego, por [Mu2, Lemma 4.8] tenemos que dim A D = dim A ɛ,l,σ /|Υ|. Como A ɛ,l,σ y A D están dadas por extensiones, tenemos que dim C Γ dim u ɛ(l) |Υ| v = dim A D = dim(C Γ /J) dim H = dim(C Γ /J) dim u ɛ(l) . (5.14) |N| Al ser ¯π(Υ) = {D z |z ∈ N} y ¯π(∂ z δ(z) −1 ) = D z = 1 si y sólo z = 0, tenemos que |Υ| = |N|. Así, de las igualdades (5.14) se deduce que C Γ = C Γ /J. 5.3. Determinación de subgrupos cuánticos finitos En esta sección mostraremos que la construcción hecha en la Sección 5.2 es exhaustiva, es decir, todo subgrupo finito de un grupo cuántico simple se construye a través de los tres pasos desarrollados. Formalmente, el principal resultado de la tesis es el siguiente:
5.3. DETERMINACIÓN DE SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS 85 Teorema 5.3.1. Existe una biyección entre (a) Cocientes q : O ɛ (G) → A de álgebras de Hopf con dim A < ∞. (b) Datos de subgrupo finito. Demostración. La demostración del hecho que todo dato de grupo finito D da un cociente de O ɛ (G) de dimensión finita está dada por el Teorema 5.2.17. La prueba que todo cociente q : O ɛ (G) → A de álgebras de Hopf con dim A < ∞ está determinado por un dato de subgrupo finito está dada por una sucesión de lemas que demostraremos en lo que sigue. Sea q : O ɛ (G) → A un epimorfismo de álgebras de Hopf con dim A < ∞. Entonces la subálgebra de Hopf K = q(O(G)) es central en A y en ese caso, A es una H-extensión de K, donde H es el álgebra de Hopf H = A/AK + . Puesto que K es conmutativa, existe un grupo finito Γ y una inclusión σ : Γ → G tal que K ≃ C Γ . Más aún, como q(O ɛ (G)O(G) + ) = AK + , tenemos que O ɛ (G)O(G) + ⊆ Ker ˆπq, donde ˆπ : A → H es el epimorfismo canónico. Así, por ser u ɛ (g) ∗ ≃ O ɛ (G)/[O ɛ (G)O(G) + ], existe un epimorfismo r : u ɛ (g) ∗ → H y por la Proposición 5.1.3, H ∗ está determinada por una terna (Σ, I + , I − ). En particular, se tiene el siguiente diagrama conmutativo 1 O(G) ι O ɛ (G) π u ɛ (g) ∗ 1 (5.15) t σ q 1 C Γ ˆι A r ˆπ H 1. En lo que sigue, mostraremos que A = A D para cierto dato de subgrupo D = (I + , I − , N, Γ, σ, δ). Como en la Subsección 5.2.1, consideremos el núcleo regular de Frobenius-Lusztig u ɛ (l). Éste está dado por la terna (T, I + , I − ) donde T = 〈K α1 , . . . , K αn 〉 ≃ (Z/(l)) n . Luego, Σ ⊆ T y consecuentemente H ∗ ⊆ u ɛ (l). Denotemos por v : u ɛ (l) ∗ → H al epimorfismo inducido por esta inclusión. Lema 5.3.2. El diagrama (5.15) se factoriza a través de la sucesión exacta 1 O(L) ι L O ɛ (L) π L u ɛ (l) ∗ 1, es decir, el siguiente diagrama de sucesiones exactas de álgebras de Hopf conmuta 1 O(G) ι O ɛ (G) π u ɛ (g) ∗ 1 t σ res 1 O(L) ι L u q Res O ɛ (L) 1 C Γ ˆι A w π L P u ɛ (l) ∗ v r 1 ˆπ H 1. Demostración. Para mostrar la existencia de las aplicaciones u y w basta probar que Ker Res ⊆ Ker q, ya que u es simplemente wι L .
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Álgebras de Hopf y Grupos Cuántic
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Índice general Resumen Abstract Ag
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Resumen En esta tesis discutimos al
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Abstract In this thesis we discuss
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Agradecimientos Esta tesis ha sido
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viii INTRODUCCIÓN mostró que dete
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x INTRODUCCIÓN En el Capítulo 3 d
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xii INTRODUCCIÓN Luego de estos do
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xiv INTRODUCCIÓN Finalmente, para
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Capítulo 1 Preliminares En este ca
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1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BÁS
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1.2. COHOMOLOGÍA DE GRUPOS 9 lo cu
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Page 136: central, 11 cleft, 52 del álgebra
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