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4.2. COCIENTES DE O ɛ (G) DE DIMENSIÓN FINITA 63
Lema 4.2.22. Si σ(Γ) no es central en G, entonces existe una familia infinita {g i } i∈I de elementos
de G tales que (g i · σ)(Γ) T.
Demostración. Sea {g j } j∈J un conjunto de representantes de T\G/C. Luego, J es infinito por
el Lema 4.2.21. Probaremos que puede haber sólo un número finito de elementos g j tales que
(g j · σ)(Γ) ⊆ T.
Supongamos que existe g i ∈ G tal que (g i · σ)(Γ) ⊆ T. Sin pérdida de generalidad, podemos
suponer que Γ ⊆ T. Consideremos ahora los conjuntos
L = {h ∈ G| hΓh −1 ⊆ T} y Λ = ∑ h∈L
hΓh −1 .
Claramente T ⊆ L y Λ ⊂ T. En lo que sigue, mostraremos que T\L/C es finito. Sea N = |Γ|,
entonces NΛ = 0, lo cual implica que Λ ⊆ (G N ) n , donde G N es el grupo de raíces N-ésimas de
la unidad. Por lo tanto, Λ es un subgrupo finito de T. En particular, contiene sólo una cantidad
finita de subgrupos que son distintos entre sí e isomorfos a Γ. Sean Γ 1 , . . . , Γ s estos subgrupos y
h 1 , . . . , h s ∈ L tales que h i Γh −1
i
= Γ i . Si h ∈ L, entonces hΓh −1 = h i Γh −1
i
para algún 1 ≤ i ≤ s.
Luego, h −1
i
hΓh −1 h i = Γ y por ende h −1
i
h ∈ N G (Γ), el normalizador de Γ en G. En consecuencia
L = ∐ s
i=1 h iN G (Γ).
Por otro lado, existe un homomorfismo N G (Γ) → Aut(Γ) que se factoriza por el monomorfismo
N G (Γ)/C ↩→ Aut(Γ). Como Γ es finito, el orden de N G (Γ)/C es finito y consecuentemente L/C es
finito. Como por hipótesis Γ ⊆ T, se sigue que T ⊆ C y por lo tanto existe una aplicación inyectiva
T\L/C → L/C, lo cual implica que {g j } j∈J contiene sólo un número finito de elementos tales que
g j Γg −1
j
⊆ T.
El que sigue es uno de los resultados más importantes de esta tesis.
Teorema 4.2.23. Sea σ ∈ Emb(Γ, G) tal que σ(Γ) no es central en G. Entonces existe una
familia infinita {σ j } j∈J en Emb(Γ, G) tal que las álgebras de Hopf {A σj } j∈J de dimensión |Γ|l dim g
son no isomorfas entre sí, no semisimples, no punteadas y sus duales tampoco son punteados.
Demostración. Como σ(Γ) no es central en G, del Lema 4.2.21 se sigue que existe un conjunto
infinito {g i } i∈I de elementos de G tal que (tg i ) · σ ≠ g j · σ para todo i ≠ j y t ∈ T. Denotemos
σ i = g i · σ para todo i ∈ I. Por el Lema 4.2.11 sabemos que
Emb(Γ, G) = ∐ η∈E
C η ,
donde C η = {µ ∈ Emb(Γ, G)| η ∼ µ} y E es un conjunto de representantes de Emb(Γ, G) por
la relación de equivalencia ∼. Para encontrar la familia, probaremos primero que no puede haber
infinitos σ i incluidos en un solo C η .
Supongamos por el contrario que existe η ∈ Emb(Γ, G) tal que C η contiene infinitos σ i . Por el
Teorema 4.2.20, sabemos que
⋃
C η =
C η,f,τ ,
τ∈Aut(Γ), f∈qAut(G)
donde C η,f,τ = {µ ∈ Emb(Γ, G)| η ∼ µ vía la terna (τ, f, v) para algún v ∈ Z 1 f,η (Γ, Tfη )}.