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14 CAPÍTULO 2. EXTENSIONES DE ÁLGEBRAS DE HOPF
Si B = k[Γ] es un álgebra de grupo de un grupo finito Γ, entonces el producto cruzado A ∗ σ Γ :=
A# σ k[Γ] se denomina el producto Γ-cruzado de Γ sobre A. Notar que A ∗ σ Γ es un álgebra Γ-
graduada. Más aún, se puede ver que A ∗ σ Γ está caracterizada como el álgebra Γ-graduada que
contiene un elemento inversible en cada componente y la componente que contiene a 1 es A. En tal
caso, decimos que A es la componente neutral de A ∗ σ Γ.
Teorema 2.2.1. Sea H un álgebra de Hopf de dimensión finita que es parte de una sucesión
exacta de álgebras de Hopf
1 → A ι −→ H π −→ k[Γ] → 1, (2.1)
donde Γ = Z/(p) es el álgebra de grupo de orden p, A ∗ es punteada y |G(A ∗ )| ≤ p. Entonces H ∗ es
punteada.
Demostración. Para probar que H ∗ es punteada, mostraremos que todo H-módulo simple tiene
dimensión uno. Para ello, basta probar que el álgebra H/ Rad H es conmutativa. En efecto, puesto
que su radical de Jacobson es nulo, el álgebra H/ Rad H es un álgebra semisimple. Si es conmutativa,
entonces por el teorema de Artin-Wedderburn se sigue que todo H/ Rad H-módulo simple, y por lo
tanto todo H-módulo simple, tiene dimensión uno.
Como H es una extensión hendida de A por k[Γ], probaremos lo siguiente: sea H = A ∗ σ Γ un
producto Γ-cruzado de dimensión finita con componente neutral A y supongamos que
(i) A/ Rad A ≃ Map(X, k), y
(ii) existe un epimorfismo π : H → k[Γ] de álgebras graduadas sobre Γ,
donde Map(X, k) es el conjunto de funciones de un conjunto finito X en k y |X| ≤ p. Entonces
H/ Rad H es conmutativa.
Sea A = A/ Rad A. Al ser A ∗ punteada, identificamos a X con el conjunto {δ 0 , . . . , δ m } de
idempotentes primitivos de A.
Puesto que para todo g ∈ Γ, el morfismo r(g) : A → A dado por r(g)(a) = g·a es un morfismo de
álgebras para todo a ∈ A, Rad A es estable por la acción débil de Γ en A y por lo tanto (Rad A) ∗ Γ
es un ideal Γ-graduado en H, que es nilpotente. En particular, (Rad A) ∗ Γ ⊆ Rad H. Por lo
tanto, se tiene un álgebra cociente H = A ∗ Γ, que es un Γ-producto cruzado. Como car k = 0,
H es semisimple, y consecuentemente H = H/ Rad H. Más aún, puesto que k[Γ] es un álgebra
semisimple, se sigue que π(Rad H) = 0 y π se factoriza a través de H. Denotemos por ¯π : H → k[Γ]
al morfismo inducido por esta factorización.
Sea δ un idempotente primitivo de A. Luego, para todo g ∈ Γ, g · δ también es un idempotente
primitivo de A. Por lo tanto, la acción débil de Γ asociada a H proviene de un morfismo de grupos,
digamos α : Γ → Perm(X). Puesto que para todo g ∈ Γ y δ i ∈ X se tiene
¯π(α(g)(δ i ) ∗ 1) = ¯π(g · δ i ∗ 1) = ¯π((1 ∗ g)(δ i ∗ 1)(1 ∗ g −1 )) = ε(δ i )1 = δ i,0 ,
se sigue que Γ debe fijar al único elemento δ 0 en X que no es anulado por ¯π. Como Γ = Z/(p) y p
no divide a (|X| − 1)!, el morfismo α debe ser trivial. Esto implica que la acción débil de Γ en A es
trivial y por lo tanto el Γ-producto cruzado H es conmutativo.