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3.1. RESULTADOS GENERALES 31
3.1.1. Álgebras de Hopf de tipo (p; p)
Con el objetivo de colaborar con la clasificación completa de álgebras de Hopf de dimensión p 3 ,
damos en esta sección algunos resultados sobre álgebras de Hopf de tipo (p; p).
El siguiente teorema nos será de mucha utilidad para estudiar el caso cuasitriangular.
Teorema 3.1.9. Sea H un álgebra de Hopf no semisimple de dimensión finita tal que G(H) es
abeliano, S 4p = id y < α, x >= 1 para todo x ∈ G(H), donde α es el elemento modular de H ∗ .
Supongamos además que existe un epimorfismo de álgebras de Hopf π : H → L, tal que π(x) = 1
para todo x ∈ G(H), donde L es un álgebra de Hopf semisimple tal que dim L = dim H/p|G(H)|.
Entonces ord S = 4p.
Demostración. Como H es no semisimple, el orden de la antípoda es mayor a 2, y por la fórmula
(1.1), éste debe dividir a 4p. Claramente no es p, ya que el orden debe ser par. Supongamos que
S 2p = id.
Sea {e 0 , . . . , e s } el conjunto de idempotentes centrales primitivos de k[G(H)]. Como en la
demostración de la Proposición 3.1.3, podemos escribir 1 = e 0 +· · ·+e s y por lo tanto H = ⊕ s
j=0 I j,
donde I j = He j . Puesto que G(H) es abeliano, se sigue que dim k[G(H)]e j = 1 para todo 0 ≤ j ≤ s,
y esto implica que dim I j = dim H/|G(H)| para todo 0 ≤ j ≤ s, ya que
dim I j = dim H ⊗ k[G(H)] k[G(H)]e j = rg k[G(H)] H dim k[G(H)]e j = dim H/|G(H)|.
Se mostró también en la demostración de la Proposición 3.1.3 que estos espacios son invariantes por
la acción de S 2 y tr(S 2 | Ij ) = 0. Sea q ∈ G p {1}. Como S 2p = id, por el Lema 3.1.1 (a) tenemos que
I j = ⊕ p−1
m=0 I j,m para todo 0 ≤ j ≤ s, donde I j,m = {h ∈ I j : S 2 (h) = q m h}, y p dim I j,m = dim I j
para todo 0 ≤ m ≤ p − 1. En particular,
dim I 0,0 = dim I 0 /p = dim H/p|G(H)| = dim L,
y podemos descomponer H como H = ⊕ p−1
j,m=0 I j,m.
De la hipótesis π(x) = 1 para todo x ∈ G(H), se sigue ahora que π(e j ) = 0 para todo j ≠ 0,
esto es, I j ⊆ Ker π para todo j ≠ 0. Más aún, I 0,m ⊆ Ker π para todo m ≠ 0, ya que para todo
h ∈ I 0,m , con m ≠ 0, se tiene que q m π(h) = π(S 2 (h)) = S 2 (π(h)) = π(h), por ser L semisimple.
Por lo tanto ⊕ (j,m)≠(0,0) I j,m ⊆ Ker π, lo cual implica que
por tener la misma dimensión.
Ker π =
⊕
(j,m)≠(0,0)
I j,m , (3.2)
Sea Λ ∈ H una integral a izquierda no nula, entonces Λ ∈ I 0,0 . En efecto, como H = ⊕ s
j=0 I j,
existen h 0 , . . . , h s en H tales que Λ = h 0 e 0 +· · ·+h s e s . Por lo tanto, Λ = < α, e 0 > Λ = Λe 0 = h 0 e 0 ,
ya que < α, x >= 1 para todo x ∈ G(H) y e 0 = 1
|G(H)|
∑
x∈G(H)
x. Más aún, por [R3, Prop. 3, d)],
sabemos que S 2 (Λ) =< α, g −1 > Λ, donde g ∈ G(H) es el elemento modular de H. Esto implica
que Λ ∈ I 0,0 , ya que por hipótesis tenemos que < α, g −1 >= 1 y Λ = h 0 e 0 ∈ I 0 .