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4.2. COCIENTES DE O ɛ (G) DE DIMENSIÓN FINITA 67
Teorema 4.2.31. [Mk5, Thm.2] Sea B una subálgebra de Hopf central de un álgebra de Hopf
A. Si dos ideales I, J de B son conjugados, entonces las álgebras de Hopf A/(I) y A/(J) dadas por
el pushout son co-Morita equivalentes.
En particular, si los cocientes A/(I) y A/(J) son de dimensión finita, entonces dichas álgebras
de Hopf son deformaciones por cociclos una de otra.
En lo que sigue probamos que las álgebras de Hopf dadas por el Teorema 4.2.23 son deformaciones
por cociclos unas de otras. La demostración se basa en el hecho que las álgebras de Hopf A σj se
construyen a través de un pushout a partir de las inclusiones ι : O(G) ↩→ O ɛ (G) y g j · σ : Γ ↩→ G y
que los subgrupos (g j · σ)(Γ) de G son todos conjugados entre sí.
La siguiente proposición se sigue directamente de un resultado de Masuoka sobre SL n (C). Sean
G un grupo de Lie conexo, simplemente conexo y simple sobre C, Γ y ˜Γ dos subgrupos finitos de G
y denotemos por A Γ y A˜Γ
a las álgebras de Hopf dadas por la construcción por el pushout.
Proposición 4.2.32. Si Γ y ˜Γ son conjugados en G, entonces las álgebras de Hopf A Γ y A˜Γ
son deformaciones por cociclos una de otra.
Comparar con [Mk5, Prop. 4].
Demostración. Denotemos por p 1 : O(G) → C Γ y p 2 : O(G) → C˜Γ los epimorfismos de álgebras
de Hopf dados por las inclusiones de Γ y ˜Γ en G. Entonces, los subgrupos Γ y ˜Γ son conjugados
por un elemento g ∈ Alg(O(G), C) = G si y sólo si los ideales I = Ker p 1 y J = Ker p 2 son
conjugados por g. En efecto, como Γ = Alg(C Γ , k) = Alg(O(G)/I, k) se sigue que I = ∩ γ∈Γ Ker γ.
Análogamente J = ∩˜γ∈˜Γ
Ker ˜γ. Luego, si Γ y ˜Γ son conjugados en G, entonces existe g ∈ G tal que
gΓg −1 = ˜Γ. Pero x ∈ J si y sólo si < ˜γ, x >= 0 para todo ˜γ ∈ ˜Γ y esto ocurre si y sólo si
0 =< gγg −1 , x >=< g, x (1) >< γ, x (2) >< g −1 , x (3) >
=< γ, < g, x (1) > x (2) < g −1 , x (3) >>
=< γ, g −1 ⇀ x ↼ g >
para todo γ ∈ Γ, lo cual se cumple si y sólo si g −1 ⇀ x ↼ g ∈ I para todo x ∈ J, es decir
I = g −1 ⇀ J ↼ g y los ideales son conjugados por g ∈ G = Alg(O(G), k). Luego, la proposición se
sigue del teorema anterior.
dadas por el Teorema 4.2.23 son todas casi-
Corolario 4.2.33. Las álgebras de Hopf A σj
isomorfas entre sí.
Demostración. Se sigue directamente de la construcción de dichas álgebras de Hopf y de los
resultados anteriores.