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90 A.1. SUBÁLGEBRAS MAXIMALES REGULARES
Para ver que la desigualdad (A.2) se verifica para toda subálgebra maximal reductiva m de g,
descomponemos el estudio de las subálgebras maximales en tres casos. A saber:
(I) regulares,
(II) no regulares simples,
(III) no regulares no simples.
El Teorema A.1.2 clasifica las subálgebras maximales regulares de un álgebra de Lie simple g. Éstas
vienen dadas por dos familias, las semisimples y las no semisimples. Por construcción, las no
semisimples son subálgebras parabólicas maximales de g. Por lo tanto, veremos que la desigualdad
se satisface para las subálgebras maximales regulares semisimples y para las subálgebras reductivas
maximales incluidas en las subálgebras parabólicas maximales. Por otro lado, veremos en las
secciones subsiguientes que toda subálgebra maximal no regular satisface la desigualdad.
La clasificación de las subálgebras maximales de tipo (I), (III) y de las subálgebras maximales
de tipo (II) de las álgebras de Lie simples excepcionales se encuentra en [D1]. La clasificación para
subálgebras maximales de tipo (II) de las álgebras de Lie simples clásicas se hace a través de la
teoría de grupos de Lie y es el principal resultado de [D2].
A.1.
Subálgebras maximales regulares
Antes de enunciar el primer teorema necesitamos algunas definiciones.
Definición A.1.1. (a) Decimos que una raíz δ ∈ Φ es expresable en término de las raíces
γ 1 , . . . , γ r si δ = γ i1 + · · · + γ is y para k = 1, . . . , s la suma γ i1 + · · · + γ ik ∈ Φ.
(b) Un subsistema Σ de Φ se dice un sistema Π si
(i) α ∈ Σ, β ∈ Σ, entonces α − β /∈ Σ,
(ii) Σ es un sistema linealmente independiente.
Sean α 1 , . . . , α m raíces que forman un sistema Π que no se parte en dos sistemas ortogonales.
Supongamos además que las raíces α 1 , . . . , α m son positivas. Decimos que una raíz δ es mínima con
respecto a {α 1 , . . . , α m } si es la menor raíz expresable en término de ±α 1 , . . . , ±α m . Si g es simple,
su sistema de raíces Φ tiene una base Π = {α 1 , . . . , α n } que es un sistema Π y no se parte en dos
sistemas ortogonales. Luego, existe una raíz mínima δ con respecto a Π, que llamaremos la menor
raíz en Φ con respecto a Π. Si g es semisimple, Π se descompone en dos o más sistemas ortogonales
Π j . En ese caso, cada componente Π j tiene una raíz mínima δ j y la menor raíz en Φ con respecto
a Π es la menor de las raíces δ j .
Sea Σ = {α 1 , . . . , α m } un sistema Π que no se parte en dos sistemas ortogonales y adjuntemos
a Σ la menor raíz δ expresable en término de ±α 1 , . . . , ±α m . Obtenemos así un nuevo sistema
Σ ′ = {α 1 , . . . , α m , δ} al que llamaremos una extensión del sistema Σ. A través cálculos directos, se
puede ver que los diagramas que más abajo enumeramos se corresponden con las extensiones de
los sistemas de raíces simples de las álgebras de Lie simples. A estos diagramas los llamaremos los
diagramas extendidos de Dynkin. Con el símbolo + denotamos la raíz agregada: