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94 A.1. SUBÁLGEBRAS MAXIMALES REGULARES
construir a partir del diagrama de Dynkin de g, pues el diagrama de su parte semisimple se obtiene
a partir del diagrama de g simplemente quitando un nodo. Por ejemplo, consideremos un diagrama
de tipo E 7 con la numeración estándar de las raíces simples α 1 , . . . , α 7 :
◦ α 2
◦
α 1
◦
α3
◦
α4
◦
α5
◦
α 6
◦
α7
Si quitamos la raíz α 6 del diagrama obtenemos el nuevo diagrama:
◦ α 2
◦
α 1
◦
α3
◦
α4
◦
α5
◦
α 7
que representa un álgebra semisimple de tipo D 5 +A 1 . Luego, el álgebra reductiva maximal contenida
en la parabólica maximal g[α 6 ] será del tipo D 5 + C + A 1 .
Por convención, cuando un subíndice sea 0, la subálgebra de Lie correspondiente será la trivial,
i.e. A 0 = B 0 = C 0 = D 0 = 0. Además, notaremos B 1 = C 1 = A 1 , B 2 = C 2 , etc. En la cuarta
columna se indicará directamente la dimensión de m.
Análogamente al caso anterior, debemos ver que para las álgebras de Lie clásicas se satisface la
desigualdad (A.2). Como veremos, todos los cálculos son similares y fáciles de verificar.
Caso 1: g de tipo A n . Debemos verificar la desigualdad
k(k + 2) + (n − 1 − k)(n − k + 1) + 1 < n 2 + n para todo 0 ≤ k ≤ n − 1. (A.5)
Demostración. Sea 0 ≤ k ≤ n − 1. Entonces
k(k + 2) + (n − 1 − k)(n − k + 1) + 1 = 2k 2 + n 2 − 2nk + 2k < n 2 + n
⇔ 2k 2 + 2k − 2nk − n < 0
⇔ 2(n − k) 2 − 2n 2 + 2nk − n + 2k < 0
⇔ 2(n − k) 2 − 2n(n − k) − (n − k) + k < 0
⇔ (n − k)(2(n − k) − 2n − 1) + k < 0
⇔ (n − k)(−2k − 1) + k < 0
⇔ k − (n − k)(2k + 1) < 0
lo cual es siempre cierto, pues (n − k) > 0.
Caso 2: g de tipo B n o C n . Debemos verificar la desigualdad
k(k + 2) + (n − 1 − k)(2n − 2k − 1) + 1 < 2n 2 para todo 0 ≤ k ≤ n − 1. (A.6)