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4.1. ÁLGEBRAS DE COORDENADAS CUANTIZADAS 49
Sea O ɛ (G) = O ɛ (G)/[O(G) + O ɛ (G)] y denotemos por π : O ɛ (G) → O ɛ (G) al epimorfismo que
da el cociente. Por los Teoremas 4.1.10 y 4.1.11, O ɛ (G) es un álgebra de Hopf de dimensión l dim G .
Como O ɛ (G) es un O(G)-módulo libre, es fielmente playo y por la Proposición 2.1.6, se sigue que
O(G) = O ɛ (G) co π = co π O ɛ (G). Esto implica que O ɛ (G) encaja en la sucesión exacta
1 → O(G) → O ɛ (G) → O ɛ (G) → 1.
Nuestro objetivo es determinar el álgebra de Hopf O ɛ (G). Para ello, consideramos la forma
adjunta del álgebra envolvente cuantizada U q (g) con sistema de raíces asociado Φ y grupo de Weyl
W . El grupo de trenzas B W de tipo Φ asociado al grupo de Weyl W es el grupo generado por los
elementos t 1 , . . . , t n que satisfacen las relaciones
t i t j t i · · · = t j t i t j · · · , para i ≠ j,
con m ij factores en ambos lados de la igualdades, donde m ij es el orden del producto s αi s αj
reflexiones simples s αi y s αj en W .
de las
Lusztig, e independientemente Levendorskii y Soibelman, probaron que los generadores t i satisfacen
las relaciones de trenza y que B W actúa a través de automorfismos de álgebras en U q (g).
Para una discusión detallada sobre estas afirmaciones ver [J, Section 8].
Consideraremos ahora el álgebra de Hopf Ǔɛ(g), con ɛ una raíz l-ésima primitiva de la unidad.
El siguiente teorema se debe a De Concini, Kac y Procesi.
Teorema 4.1.14. Con la misma notación que en la Definición 4.1.1 se tiene que
(a) U ɛ (g, M) tiene los mismos generadores que U q (g, M) que satisfacen las mismas relaciones,
pero con q reemplazado por ɛ.
(b) U ɛ (g, M) es un álgebra de Hopf con las mismas definiciones de ∆, ε y S que para U q (g, M)
pero con q reemplazado por ɛ.
(c) Al igual que U q (g), U ɛ (g, M) admite una acción de B W .
Demostración. Ver [DK], [DKP].
Sea Z 0 la menor subálgebra B W -invariante de Ǔɛ(g) que contiene a los elementos
K lα = K l α, E l i , F l
i para α ∈ P y 1 ≤ i ≤ n.
Entonces por [BG, Thm. III.6.2], Z 0 es una subálgebra de Hopf central de Ǔɛ(g) y Ǔɛ(g) es un Z 0 -
módulo libre de rango l dim g . El álgebra de Hopf de dimensión l dim g dada por el cociente u ɛ (g) :=
Ǔ ɛ (g)/[Z + 0 Ǔɛ(g)] se llama el álgebra envolvente cuantizada restringida de g en ɛ o el núcleo de
Frobenius-Lusztig de g en ɛ.
Aunque es un resultado bien conocido que el álgebra de Hopf O ɛ (G) es isomorfa al dual del
álgebra envolvente cuantizada restringida u ɛ (g), sólo pudimos hallar la siguiente referencia.
Teorema 4.1.15. Las álgebras de Hopf O ɛ (G) y u ɛ (g) ∗ son isomorfas.