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4.2. COCIENTES DE O ɛ (G) DE DIMENSIÓN FINITA 61
Observación 4.2.19. Las álgebras de Hopf A σ = O ɛ (G)/(J ) no sólo dependen de σ sino también
de g y la raíz de la unidad ɛ. Sin embargo, estos datos son invariantes con respecto a la primera
construcción: si A σ,ɛ,g ≃ A σ ′ ,ɛ ′ ,g ′ entonces ɛ = ɛ′ , g ≃ g ′ y Γ ≃ Γ ′ . A saber, denotemos por ϕ :
A σ,ɛ,g → A σ ′ ,ɛ ′ ,g ′ el isomorfismo. Como Z(u ɛ(g) ∗ ) = Z(u ɛ ′(g ′ ) ∗ ) = C, por el Lema 2.3.13 tenemos
que Z(A σ,ɛ,g ) = C Γ y Z(A σ ′ ,ɛ ′ ,g ′) = CΓ′ . Así, por la Proposición 2.3.12, ϕ induce dos isomorfismo
ϕ : C Γ → C Γ′ y ϕ : u ɛ (g) ∗ → u ɛ ′(g ′ ) ∗ . En particular se tiene que Γ ≃ Γ ′ y u ɛ (g) ≃ u ɛ ′(g ′ ). Puesto
que los núcleos de Frobenius-Lusztig son espacios lineales cuánticos de tipo Cartan, de [AS5, Thm.
7.2] se sigue que ɛ = ɛ ′ y g ≃ g ′ .
Más adelante en esta tesis notaremos A ɛ,g,σ = A σ para enfatizar la dependencia en la terna.
Recordar que, por la Definición 4.2.9, dos inclusiones σ 1 y σ 2 son equivalentes si existe una terna
(τ, f, v) donde
(i) τ ∈ Aut(Γ),
(ii) f ∈ qAut(G) y
(iii) v ∈ Z 1 f,σ 2
(Γ, G) con v(1) = 1.
Si aplicamos el Teorema 2.3.15 a las extensiones A 1 y A 1 obtenemos lo siguiente.
Teorema 4.2.20. Si las álgebras de Hopf A 1 y A 2 son isomorfas entonces σ 1 ∼ σ 2 a través de
una terna (τ, f, v) con v ∈ Z 1 f,σ 2
(Γ, T fσ 2
).
Demostración. Por el Teorema 2.3.15, sabemos que las álgebras de Hopf A 1 y A 2 son isomorfas
si y sólo si existe una terna (ω, g, u) tal que ω ∈ Aut(C Γ ), g ∈ qAut(O(G)) y u ∈ Reg 1,ε (O ɛ (G), C Γ )
es un morfismo de álgebras que satisface las propiedades (2.12) y (2.13). Las transpuestas de estas
aplicaciones inducen las aplicaciones t ω = τ ∈ Aut(Γ), t g = f ∈ qAut(G) y t u = µ ∈ Map(Γ, G ɛ ),
donde G ɛ = Alg(O ɛ (G), C) y µ(1) = 1.
Sea v = t ιµ, entonces v es un 1-cociclo que satisface (iii): por la Subsección 4.1.2, la imagen de
t ι : G ɛ → G es el toro maximal T, entonces la composición v = t ιµ es una función v : Γ → T ⊂ G,
que por las ecuaciones (2.12) y (2.13) satisface que
σ 1 (τ(x)) = f(σ 2 (x))v(x) y v(xy) = f(σ 2 (y)) −1 v(x)σ 1 (τ(y))
= f(σ 2 (y)) −1 v(x)f(σ 2 (y))v(y)
= (v(x) ↼ y)v(y).
para todo g, h ∈ Γ. En efecto, para todo x, y ∈ Γ y b ∈ O(G) tenemos que
< σ 1 (τ(x)), b > =< t p 1 ( t ω(x)), b >=< t (ωp 1 )(x), b >=< x, ωp 1 (b) >
=< x, p 2 g(b (1) )uι(b (2) ) >=< x, p 2 g(b (1) ) >< x, uι(b (2) ) >
=< t (p 2 g)(x), b (1) >< t (uι)(x), b (2) >=< t g( t p 2 (x)), b (1) >< t ι( t u(x)), b (2) >
=< f(σ 2 (x)), b (1) >< v(x), b (2) >=< f(σ 2 (x))v(x), b >,