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76 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Demostración. (a) Basta probar que Ker Fr = u ɛ (l) + Γ ɛ (l) y
co Fr Γ ɛ (l) = u ɛ (l). La primera
igualdad se sigue directamente de la Observación 5.2.5 (b), puesto que el ideal bilátero generado por
u ɛ (l) + coincide con I. La segunda igualdad se sigue del Lema 5.2.4, ya que co Fr Γ ɛ (g) = u ɛ (g) por
[A1, Lemma 3.4.1] y u ɛ (l) = u ɛ (g) ∩ Γ ɛ (l) = co Fr Γ ɛ (g) ∩ Γ ɛ (l) = co Fr Γ ɛ (l).
(b) Por la Proposición 4.1.17 sabemos que existe un epimorfismo de álgebras ϕ : Γ ɛ (g) → u ɛ (g)
tal que ϕ| uɛ (g) = id. Definimos entonces ψ := ϕ| uɛ (l) : Γ ɛ (l) → u ɛ (g). Claramente, por la definición
de ϕ se tiene que Im ψ ⊆ u ɛ (l) y que ϕ| uɛ(l) = id, de donde se sigue que Im ψ = u ɛ (l).
El álgebra de coordenadas cuantizada O ɛ (L)
Por la Proposición 4.1.9, sabemos que existe un apareamiento de Hopf perfecto
: O ɛ (G) Q(ɛ) ⊗ Q(ɛ) Γ ɛ (g) → Q(ɛ).
En particular, se tienen las inclusiones O ɛ (G) Q(ɛ) ⊆ Γ ɛ (g) ◦ y Γ ɛ (g) ⊆ O ɛ (G) ◦ Q(ɛ)
. Además, el monomorfismo
de álgebras de Hopf Γ ɛ (l) ↩→ Γ ɛ (g) determina por dualidad un morfismo de álgebras de
Hopf Res : Γ ɛ (g) ◦ → Γ ɛ (l) ◦ . Se define entonces
O ɛ (L) Q(ɛ) := Res(O ɛ (G) Q(ɛ) ).
Como O(G) Q(ɛ) ⊆ O ɛ (G) Q(ɛ) , Res(O(G) Q(ɛ) ) es una subálgebra de Hopf central de O ɛ (L) Q(ɛ) y por
lo tanto existe un subgrupo algebraico afín L de G tal que Res(O(G) Q(ɛ) ) = O(L) Q(ɛ) . En lo que
sigue mostraremos que L es conexo y que el álgebra de Lie correspondiente a L no es otra que l.
Primero necesitamos algunas definiciones.
Definición 5.2.7. (i) Una Lie subálgebra h ⊆ g se dice algebraica si existe un subgrupo algebraico
H ⊆ G tal que h = Lie(H).
(ii) Decimos que h + es la cápsula algebraica de h si h + es una subálgebra algebraica de g tal que
h ⊆ h + y si a es una subálgebra algebraica de g que contiene a h, entonces h + ⊆ a.
Cabe observar que no toda subálgebra de Lie h de un álgebra de Lie g es algebraica, ver algunos
ejemplos en [FR].
Proposición 5.2.8. El grupo algebraico L es conexo y Lie(L) = l.
Demostración. Puesto que O(G) Q(ɛ) ⊆ U(g) ◦ Q(ɛ)
, dualizando el diagrama (5.5) se tiene que
O(L) Q(ɛ) = Res(O(G) Q(ɛ) ) ⊆ U(l) ◦ Q(ɛ) . Pero por [H2, XVI.3], U(l)◦ Q(ɛ)
es un dominio íntegro y
consecuentemente O(L) Q(ɛ) también es un dominio íntegro, lo cual implica que L es irreducible y
por lo tanto conexo.
Para ver que Lie(L) = l, probaremos que Lie(L) es la cápsula algebraica de l y que l es una
subálgebra de Lie algebraica.
Res
Como Ker(O ɛ (G) Q(ɛ) −−→ O ɛ (L) Q(ɛ) ) = {f ∈ O ɛ (G) Q(ɛ) : f| Γɛ (l) = 0} y la inclusión O(G) Q(ɛ) ⊆
O ɛ (G) Q(ɛ) está dada por la transpuesta del morfismo cuántico de Frobenius, se sigue que O(L) Q(ɛ) ≃