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4.2. COCIENTES DE O ɛ (G) DE DIMENSIÓN FINITA 53
Demostración. (a) Como L es un cociente de u ɛ (g) ∗ , que es de dimensión finita, dim L es finita.
Más aún, como Γ es finito por hipótesis, por el Lema 2.3.3 A también es de dimensión finita.
Entonces, la sucesión exacta
1 → C Γ j −→ A π −→ L → 1
induce una sucesión exacta de álgebras de Hopf de dimensión finita
y ésta, una sucesión exacta de grupos
que es parte del siguiente diagrama conmutativo
1 → L ∗ t π
−→ A ∗ t j
−→ C[Γ] → 1
1 → G(L ∗ ) t π
−→ G(A ∗ ) t j
−→ Γ, (4.21)
1 G(u ɛ (g))
t r
1 G(L ∗ )
t π Alg(O ɛ (G), C)
t π
t q
G(A ∗ )
t ι
t j
Alg(O(G), C) = G
Γ.
σ
Como q es sobreyectiva, se sigue que t q : G(A ∗ ) → Alg(O ɛ (G), C) es inyectiva. Por el Teorema
4.1.12, sabemos que Alg(O ɛ (G), C) ≃ (C/2πilZ) n y por la Subsección 4.1.2, la imagen del morfismo
de restricción t ι : Alg(O ɛ (G), C) → G es el toro maximal T de G. Por lo tanto, el subgrupo
σ( t j)(G(A ∗ )) de σ(Γ) debe ser un subgrupo de T.
(b) Como t j : A ∗ → C[Γ] es sobreyectiva, por [Mo, Cor. 5.3.5], la imagen del corradical de A ∗
es el corradical de C[Γ]. Por lo tanto, si A ∗ es punteada entonces t j(G(A ∗ )) = Γ. Entonces por el
item (a), σ(Γ) debe ser un subgrupo de T.
Usando el siguiente lema podemos deducir algunas propiedades de la L-extensión A de C Γ a
partir de propiedades de Γ y L.
Lema 4.2.3. Sea 1 → C Γ → A → L → 1 una sucesión exacta de álgebras de Hopf de dimensión
finita. Entonces
(a) A es semisimple si y sólo si L es semisimple.
(b) Si A es punteada, entonces L es punteada. Más aún, sea p un número primo impar y supongamos
que |Γ| = p y |G(L)| ≤ p. Si L es punteada, entonces A es punteada.
Demostración. (a) Es sabido que A es semisimple si y sólo si C Γ y L son semisimples. Luego,
la afirmación se sigue del hecho que C Γ es semisimple.
(b) Como L es un cociente de A, por [Mo, Cor. 5.3.5] se tiene que L es punteada si A es punteada.
La recíproca se sigue del Teorema 2.2.1.
El siguiente teorema resume en cierto modo lo hecho hasta ahora.