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84 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
{∂ z − δ(z)|z ∈ N} y el siguiente diagrama de sucesiones exactas de álgebras de Hopf es conmutativo
1 O(G)
ι
O ɛ (G)
π
u ɛ (g) ∗
1
res
1 O(L)
ι L
Res
O ɛ (L)
π L
P
u ɛ (l) ∗ 1
1
t σ
C Γ
j
s
¯π
A ɛ,l,σ u ɛ (l) ∗
1
t
1
C Γ ˆι A D
ˆπ H 1.
Demostración. Por la Observación 5.2.11, N determina un subgrupo Σ de (Z/(l)) n y la terna
(Σ, I + , I − ) da lugar a un epimorfismo r : u ɛ (g) ∗ → H de álgebras de Hopf. Si σ : Γ → L ⊆ G es
inyectivo, por los primeros dos pasos se puede construir un álgebra de Hopf A ɛ,l,σ que es un cociente
de dimensión |Γ| dim u ɛ (l) de O ɛ (G), donde u ɛ (l) es la subálgebra de Hopf de u ɛ (g) asociada a la
terna (T, I + , I − ). Más aún, por el Lema 5.2.13 (b), H es el cociente de u ɛ (l) ∗ por el ideal bilátero
(D z − 1| z ∈ N). Si δ : N → ̂Γ es un morfismo de grupos y ̂Γ ≃ Alg(C[Γ], C) = G(C Γ ), entonces
los elementos δ(z) son elementos de tipo grupo centrales en A ɛ,l,σ para todo z ∈ N. Luego, el ideal
bilátero J δ de A ɛ,l,σ generado por el conjunto {∂ z − δ(z)|z ∈ N} es un ideal de Hopf. Así, por la
Proposición 2.3.2 la siguiente sucesión es exacta
1 → C Γ /J → A ɛ,l,σ /J δ → u ɛ (l) ∗ /¯π(J δ ) → 1,
donde J = J δ ∩ C Γ . Como ¯π(∂ z ) = D z y ¯π(δ(z)) = 1 para todo z ∈ N, tenemos que ¯π(J δ ) es
el ideal bilátero de u ɛ (l) ∗ dado por (D z − 1| z ∈ N), lo que implica por el Lema 5.2.13 (b) que
u ɛ (l) ∗ /¯π(J δ ) = H. Por lo tanto, si denotamos A D := A ɛ,l,σ /J δ , la sucesión exacta anterior se escribe
de la forma
1 → C Γ /J → A D → H → 1. (5.13)
Entonces, para finalizar la demostración basta ver que J = J δ ∩ C Γ = 0. Claramente, J δ coincide
con el ideal bilátero (∂ z δ(z) −1 −1| z ∈ N) de A ɛ,l,σ . Más aún, Υ = {∂ z δ(z) −1 |z ∈ N} es un subgrupo
de elementos de tipo grupo centrales de G(A ɛ,l,σ ) y J δ = (g − 1|g ∈ Υ). Luego, por [Mu2, Lemma
4.8] tenemos que dim A D = dim A ɛ,l,σ /|Υ|. Como A ɛ,l,σ y A D están dadas por extensiones, tenemos
que
dim C Γ dim u ɛ(l)
|Υ|
v
= dim A D = dim(C Γ /J) dim H = dim(C Γ /J) dim u ɛ(l)
. (5.14)
|N|
Al ser ¯π(Υ) = {D z |z ∈ N} y ¯π(∂ z δ(z) −1 ) = D z = 1 si y sólo z = 0, tenemos que |Υ| = |N|. Así, de
las igualdades (5.14) se deduce que C Γ = C Γ /J.
5.3. Determinación de subgrupos cuánticos finitos
En esta sección mostraremos que la construcción hecha en la Sección 5.2 es exhaustiva, es decir,
todo subgrupo finito de un grupo cuántico simple se construye a través de los tres pasos desarrollados.
Formalmente, el principal resultado de la tesis es el siguiente: