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58 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Definición 4.2.12. Sea σ ∈ Emb(Γ, G) y f ∈ qAut(G). Definimos entonces T fσ
subgrupo de T dado por
T fσ = ⋂ fσ(y)Tfσ(y −1 ).
y∈Γ
como el
Puesto que para todo σ ∈ Emb(Γ, G) y f ∈ qAut(G) la acción de Γ en G se define por
g ↼ x = fσ(x −1 )gfσ(x) para todo x ∈ Γ, g ∈ G,
se sigue que el subgrupo T fσ es estable por esta acción. Veremos más adelante en el Teorema 4.2.20
que los cociclos que provienen de las extensiones construidas en el Teorema 4.2.4 son en realidad
elementos de Z 1 f,σ (Γ, Tfσ ) para ciertos f ∈ qAut(G) y σ ∈ Emb(Γ, G).
Ahora probamos algunos lemas que dan propiedades sobre la cohomología de Γ en los grupos
abelianos T fσ para f ∈ qAut(G) y σ ∈ Emb(Γ, G).
Lema 4.2.13. Z 1 f,σ (Γ, Tfσ ) = Z 1 (t·f),σ (Γ, T(t·f)σ ) para todo t ∈ T.
Demostración. Supongamos que v ∈ Z 1 (t·f),σ (Γ, T(t·f)σ ). Entonces v(x) ∈ T (t·f)σ para todo x ∈
Γ. Pero
T (t·f)σ = ⋂ (t · f)σ(y)T(t · f)σ(y −1 ) = ⋂
y∈Γ
y∈Γ
tfσ(y)t −1 Ttfσ(y −1 )t −1
= ⋂ y∈Γ
tfσ(y)Tfσ(y −1 )t −1 = tT fσ t −1 = T fσ ,
pues T fσ ⊂ T y t ∈ T. Por lo tanto, T (t·f)σ = T fσ para todo t ∈ T. Más aún, v es un 1-cociclo con
respecto a f y a σ:
v(xy) = (t · f)(σ(y −1 ))v(x)(t · f)(σ(y))v(y) = tf(σ(y −1 ))t −1 v(x)tf(σ(y))t −1 v(y)
= tf(σ(y −1 ))v(x)f(σ(y))v(y)t −1 = f(σ(y −1 ))v(x)f(σ(y))v(y).
La última igualdad se sigue del hecho que f(σ(y −1 ))v(x)f(σ(y))v(y) ∈ T para todo x, y ∈ Γ. La
otra inclusión se sigue directamente de cálculos similares.
Lema 4.2.14. Sean σ ∈ Emb(Γ, G), τ ∈ Aut(Γ) y f ∈ qAut(G). Definimos entonces
C σ,f,τ = {η ∈ Emb(Γ, G)| σ ∼ η vía la terna (τ, f, v), v ∈ Z 1 f,σ (Γ, Tfσ )}.
Entonces T fσ actúa en C σ,f,τ por t·η = Int(t)η para todo η ∈ C σ,f,τ . Más aún, existe una aplicación
inyectiva
C σ,f,τ /T fσ → H 1 f,σ (Γ, Tfσ ), [η] ↦→ [v η ],
donde v η (x) = f(σ(x)) −1 η(τ(x)) es el único 1-cociclo tal que η(τ(x)) = f(σ(x))v η (x) para todo
x ∈ Γ.