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70 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Luego, si σ : Γ → G es una inclusión y σ(Γ) ⊆ L, se aplica la construcción pushout dada en la
Sección 2.3, obteniendo un álgebra de Hopf A ɛ,l,σ de dimensión finita que es una extensión de C Γ
por u ɛ (l) ∗ . Entonces, para cada morfismo de grupos δ : N → ̂Γ, donde N es un grupo abeliano
asociado a Σ (ver Observación 5.2.11) y ̂Γ es el grupo de caracteres de Γ, se construye un ideal de
Hopf J δ de A ɛ,l,σ tal que el álgebra de Hopf A D = A ɛ,l,σ /J δ es una extensión de C Γ por u ɛ (l) ∗ y un
cociente de O ɛ (G).
5.1. Subálgebras de Hopf de un álgebra de Hopf punteada
En esta sección se describen las subálgebras de Hopf de álgebras de Hopf punteadas. Sea U un
álgebra de Hopf tal que el corradical U 0 es una subálgebra de Hopf. U admite una filtración de
coálgebras, la filtración corradical, que resulta ser de álgebras de Hopf, por ser U 0 una subálgebra.
Denotemos por (U n ) n≥0 a la filtración corradical de U, U −1 = 0 y sean gr U(n) = U n /U n−1 el espacio
homogéneo de grado n y gr U = ⊕ n≥0 gr U(n) el álgebra de Hopf graduada asociada a la filtración.
Sean ι : U 0 → gr U la inclusión canónica, y π : gr U → U 0 la proyección homogénea. Luego, el
conjunto R := (gr U) co π es una subálgebra de gr U que se denomina el diagrama de U. Más aún,
R resulta ser un álgebra de Hopf graduada trenzada, es decir, un álgebra de Hopf en la categoría
U 0
U 0
YD de módulos de Yetter-Drinfeld de U 0 . Explícitamente, R es una subálgebra graduada de gr U,
con una acción a izquierda y una coacción a izquierda de U 0 dada por
h · r = h (1) rS(h (2) ), ρ(r) = r (−1) ⊗ r (0) = π(r (1) ) ⊗ r (2) ,
para todo r ∈ R, h ∈ U 0 . La comultiplicación de R está dada por
∆ R (r) = r (1) ⊗ r (2) = ϑ R (r (1) ) ⊗ r (2) ,
donde ϑ R : gr U → R es la aplicación definida para todo a ∈ gr U como
ϑ R (a) = a (1) ιπ(Sa (2) ). (5.1)
Se puede probar fácilmente que
ϑ R (rh) = rɛ(h), ϑ R (hr) = h · r (5.2)
para todo r ∈ R, h ∈ U 0 . Por consiguiente, se tiene que gr U ≃ R#U 0 , es decir, gr U es una
bosonización de R con R = ⊕ n≥0 R(n), donde R(0) ≃ C, R(1) = P(R).
Diremos que R es un álgebra de Nichols si R está generada como álgebra por R(1). Ver [AS2]
para más detalles.
Para formular los siguientes resultados, necesitaremos introducir cierta terminología. Sean A
una álgebra de Hopf, M un módulo de Yetter-Drinfeld sobre A y B una subálgebra de Hopf de A.
Decimos que un subespacio vectorial N de M es B-compatible si
(i) es estable bajo la acción de B, y
(ii) posee una estructura de B-comódulo que induce la coacción de A.