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82 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
que es lo que se quería probar.
(b) Por la parte (a), tenemos que D z es un elemento de tipo grupo central en u ɛ (l) ∗ para todo
z ∈ N. Por lo tanto el cociente u ɛ (l) ∗ /(D z − 1|z ∈ N) es un álgebra de Hopf.
Por otro lado, sabemos que H ∗ está determinada por la terna (Σ, I + , I − ) y consecuentemente
H ∗ está incluida en u ɛ (l). Si denotamos por v : u ɛ (l) ∗ → H al epimorfismo dado por esta inclusión,
tenemos que Ker v = {f ∈ u ɛ (l) ∗ : f(h) = 0, ∀ h ∈ H ∗ }. Por lo tanto, D z − 1 ∈ Ker v para todo
z ∈ N, puesto que D z (ω) = ρ(z)(ω) = 1 para todo ω ∈ Ω. Entonces existe un epimorfismo de
álgebras de Hopf
γ : u ɛ (l) ∗ /(D z − 1| z ∈ N) ↠ H.
Sin embargo, combinando el Corolario 5.1.4 con las bases PBW de H y de u ɛ (l) tenemos que
dim H = l |I +|+|I − | |Σ| = l |I +|+|I − | l n−s |Ω| = l |I +|+|I − | l n−s |̂Ω| = l |I +|+|I − | ln
|N|
= dim(u ɛ (l) ∗ /(D z − 1| z ∈ N)),
lo cual implica que γ es un isomorfismo.
Observación 5.2.14. Cabe destacar que el resultado del lema anterior es muy similar a un resultado
usado por E. Müller en el caso de tipo A n [Mu2, Sec. 4] para la clasificación de los cocientes
finitos de O ɛ (SL N ). El nuevo enfoque aquí consiste en ver a H como un cociente del dual del núcleo
regular de Frobenius-Lusztig u ɛ (l).
Antes de seguir con la construcción necesitamos otro lema técnico.
Lema 5.2.15. El álgebra de Hopf A ɛ,l,σ contiene un subgrupo Z := {∂ z |z ∈ (Z/(l)) s } de G(A ɛ,l,σ )
que consiste de elementos centrales y cuyo orden es l s .
Demostración. Consideremos el conjunto X = {D z | z ∈ (Z/(l)) s } de elementos de tipo grupo
centrales de u ɛ (l) ∗ dado por el Lema 5.2.13. Por la Proposición 5.2.6 (b), sabemos que existe un
morfismo de álgebras ψ : Γ ɛ (l) → u ɛ (l). Este morfismo induce un morfismo de coálgebras ψ ∗ :
u ɛ (l) ∗ → Γ ɛ (l) ◦ tal que el siguiente diagrama conmuta
Γ ɛ (g) ◦
ϕ ∗
u ɛ (g) ∗
Res
P
Γ ɛ (l) ◦ u ɛ (l) ∗
ψ ∗
donde ϕ ∗ es el morfismo de coálgebras inducido por el morfismo de álgebras ϕ : Γ ɛ (g) → u ɛ (l)
dado por la Proposición 4.1.17, cuya restricción a Γ ɛ (l) define ψ. Pero por la demostración de la
Proposición 5.2.6 (c), la imagen de ϕ ∗ está contenida en O ɛ (G). Luego, como Res(O ɛ (G)) = O ɛ (L),
se sigue que la imagen de ψ ∗ está contenida en O ɛ (L). De esta manera queda definido el conjunto
de elementos de tipo grupo Y = {d z = ψ ∗ (D z )| z ∈ (Z/(l)) s }. Más aún, usando el Lema 5.2.2 y
las definiciones de ψ y de los elementos D i con α i /∈ I, se puede ver, al igual que antes, que estos
elementos son centrales, ya que coinciden con la counidad de Γ ɛ (l) salvo en aquellos elementos de
la base que contengan a alguna potencia de K αi .