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40 CAPÍTULO 3. SOBRE ÁLGEBRAS DE HOPF DE DIMENSIÓN P 3
Luego, el único caso posible es cuando H R = H y (H, R) es un álgebra de Hopf cuasitriangular
minimal. Entonces por [R2, Cor. 3], se sigue que dim H|(dim K) 2 y por lo tanto la dimensión de K
es p 2 o p 3 .
Supongamos que la dimensión de K es p 2 . Como H es no semisimple, K es no semisimple por
la Observación 3.2.2. Más aún, por [Ng, Thm. 5.5], K debe ser isomorfa a un álgebra de Taft T (q),
donde q ∈ G p {1}. Como L ≃ K ∗cop , L también es isomorfa a un álgebra de Taft y por el Ejemplo
1.1.16, L ≃ T (q −1 ).
Es claro que G(K) ⊆ G(H) y G(L) ⊆ G(H), donde el orden de G(H) es p o p 2 . Como H es un
producto de dos álgebras de Taft, se tiene que S 4p = id. Si el orden de G(H) es p 2 , entonces por la
Proposición 3.1.3, H es punteada. Luego, por [AS3, Thm. 0.1] y la Proposición 3.2.6, H es isomorfa
a un núcleo de Frobenius-Lusztig u q (sl 2 ); lo cual es imposible, pues |G(u q (sl 2 ))| = p.
Por lo tanto |G(H)| = p, y consecuentemente G(H) = G(K) = G(L). Sean g ∈ G(H), x ∈ K
los generadores de K, y g ′ ∈ G(H), y ∈ L los generadores de L. Éstos están sujetos a las relaciones
del Ejemplo 1.1.16, ya que ambas son isomorfas a álgebras de Taft, pero en diferentes raíces de la
unidad. Más aún, g ′ debe ser una potencia de g, ya que |G(H)| = p. Luego, H está generada como
álgebra por g, x e y, lo cual implica por [Mo, Lemma 5.5.1] que H es punteada. Entonces por [AS3,
Thm. 0.1] y la Proposición 3.2.6, H es isomorfa a u q (sl 2 ), para algún q ∈ G p {1}.
Supongamos ahora que dim K = p 3 . Entonces el morfismo f R : H ∗cop → H es un isomorfismo
de álgebras de Hopf. Más aún, H es no punteada y por ende simple como álgebra de Hopf por el
Corolario 2.2.3, ya que de lo contrario H sería isomorfa a un núcleo de Frobenius-Lusztig u q (sl 2 ),
lo cual es imposible pues u q (sl 2 ) ∗ no es punteada ni cuasitriangular. Entonces, por el Lema 3.2.9
se tiene que |G(H)| = p y < α, g >= 1, donde α y g son los elementos modulares de H ∗ y H
respectivamente. Puesto que de la demostración del Lema 3.2.9 se tiene que f R (α) = g, se sigue
de la Observación 1.1.21 que H y H ∗ no son unimodulares. Por lo tanto, < β, x >= 1 para todo
β ∈ G(H ∗ ), x ∈ G(H), lo cual implica por el Corolario 3.1.12 (b) que ord S = 4p. En conclusión, H
es un álgebra de Hopf extraña de tipo (p; p) que satisface todas las condiciones en (iii).
Es un hecho conocido que las álgebras de grupo y los núcleos de Frobenius-Lusztig son álgebras
de Hopf de cintas, ver [K]. A continuación, probamos que no existe otra álgebra de Hopf de cintas
de dimensión p 3 .
Corolario 3.2.11. Sea H un álgebra de Hopf de cintas de dimensión p 3 . Entonces H es un
álgebra de grupo o H es isomorfa a u q (sl 2 ) para algún q ∈ G p {1}.
Demostración. Supongamos por el contrario que H es un álgebra de Hopf de cintas de dimensión
p 3 que no es un álgebra de grupo y H no es isomorfa a un núcleo de Frobenius-Lusztig. Entonces
por el teorema anterior, H es de tipo (p; p) y ord S = 4p. Sin embargo esto no puede ocurrir, ya que
por [KR, Thm. 2], el cuadrado de la antípoda debe tener orden impar.
Usando el Teorema 3.2.10 y algunos resultados de [AN] y [BD], clasificamos en el siguiente
teorema las álgebras de Hopf cuasitriangulares de dimensión 27. Al igual que en [BD], M c (n, k)
denotan las coálgebras matriciales simples contenidas en el corradical.
⊕
Sea H un álgebra de Hopf de dimensión finita y sea H 0 el corradical de H. Luego, H 0 ≃
τ∈Ĥ H τ , donde H τ es una subcoálgebra simple de dimensión d 2 τ , d τ ∈ Z, y Ĥ es el conjunto de