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98 A.3. SUBÁLGEBRAS MAXIMALES NO REGULARES
de dimensión N es reducible si existe un subespacio lineal no nulo y propio de C N que es invariante
por la acción de G. Diremos que un grupo es irreducible si no es reducible.
Observación A.3.2. Sean G un grupo de transformaciones lineales del espacio complejo de dimensión
N, S un subgrupo de G y g, s sus álgebras de Lie respectivamente. Entonces, S es un
subgrupo reducible de G si y sólo si s es una subálgebra regular de g, en el sentido de la definición
A.0.1. En efecto, las álgebras de tipo B n , C n y D n se pueden ver como álgebras de transformaciones
lineales de un espacio R cuyos elementos A satisfacen las condiciones
tr A = 0 Q(Av, w) + Q(v, Aw) = 0,
donde Q(v, w) es una forma bilineal no degenerada en R, simétrica o anti-simétrica. Luego, las subálgebras
del tipo g(α) se pueden pensar como el conjunto de matrices que transforma un subespacio
˜R de dimensión 2k en sí mismo y las subálgebras de tipo g[α] como el conjunto de matrices que
transforma un subespacio de dimensión k en sí mismo. Para más detalles ver [D2, Thm. 1.1, 1.2].
A.3.1.
Subálgebras maximales no regulares no simples
Los subgrupos maximales irreducibles no simples de los grupos clásicos se pueden describir por
los siguientes teoremas.
Teorema A.3.3. [D2, Thm. 1.3] El conjunto de matrices
SL(s) × SL(t), con st = N, 2 ≤ s ≤ t,
es un subgrupo maximal de SL(N). Los subgrupos maximales irreducibles no simples de SL(N)
están todos dados por subgrupos de este tipo, salvo conjugación.
Teorema A.3.4. [D2, Thm. 1.4] El conjunto de matrices
Sp(s) × SO(t), con s par, st = N, s ≥ 2, t ≥ 3, t ≠ 4; o s = 2, t = 4,
es un subgrupo maximal de Sp(N). Todo subgrupo maximal irreducible no simple de Sp(N) es
conjugado en Sp(N) a un subgrupo de este tipo. Los conjuntos de matrices
Sp(s) × Sp(t), con s, t pares, st = N, 2 ≤ s ≤ t, y
SO(s) × SO(t), con st = N, 2 ≤ s ≤ t, s, t ≠ 4,
son subgrupos maximales de SO(N). Todo subgrupo maximal irreducible no simple de SO(N) es
conjugado en SO(N) a uno de estos subgrupos.
Por lo tanto, las subálgebras maximales no regulares no simples de las álgebras de Lie clásicas
vienen dadas por la Tabla A.4, donde g denota el álgebra de Lie y m la subálgebra maximal.
Veamos ahora que en todos los casos se verifica la desigualdad (A.2).
Caso 1: g = sl N . Debemos ver que
s 2 − 1 + t 2 − 1 < N 2 − N para todo 2 ≤ s ≤ t, st = N. (A.8)