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66 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Conjetura 3. Las álgebras de Hopf de una dimensión dada son finitas salvo casi-isomorfismos,
si el cuerpo k es algebraicamente cerrado y su característica no divide a dicha dimensión.
Siguiendo sus métodos, mostraremos que las familias de álgebras de Hopf A σj
álgebras de Hopf casi-isomorfas entre sí.
consisten en
Cabe destacar que la conjetura de Masuoka también ha sido negada por varios autores, por
ejemplo Etingof y Gelaki [EG], que encontraron familias infinitas continuas de álgebras de Hopf que
no son casi-isomorfas.
Definición 4.2.29. (i) Sea A un álgebra de Hopf con antípoda S. Un 2-cociclo normalizado
para A es una aplicación lineal σ ∈ Reg(A ⊗ A, k) que satisface las siguientes condiciones
para todo a, b, c ∈ A.
σ(a (1) , b (1) )σ(a (2) b (2) , c) = σ(b (1) , c (1) )σ(a, b (2) c (2) )
σ(1, a) = σ(a, 1) = ε(a),
(ii) Una deformación por cociclo A σ de A por un 2-cociclo σ es el álgebra de Hopf definida como
A como coálgebra pero con el siguiente producto · y la siguiente antípoda S σ :
a · b = σ(a (1) , b (1) )a (2) b (2) σ −1 (a (3) , b (3) ),
S σ (a) = σ(a (1) , S(a (2) ))S(a (3) )σ −1 (a (4) , a (5) ),
para todo a, b ∈ A. Usando las condiciones de cociclo de σ, es fácil ver que el producto · de A σ
resulta asociativo con unidad 1 y A σ resulta un álgebra de Hopf con antípoda S σ . Más aún, el
inverso σ −1 de σ con respecto a la convolución es un 2-cociclo para A σ y se puede ver que se verifica
(A σ ) σ−1 = A. Por lo tanto, A y A σ son deformaciones por cociclos una de otra.
Si dos álgebras de Hopf A y B son deformaciones de cociclo una de otra, entonces son monoidalmente
co-Morita equivalentes, es decir, existe una equivalencia monoidal k-lineal entre las categorías
de comódulos a derecha M A ≃ M B . Más aún, por [Sbg, Cor. 5.9], si A y B son de dimensión finita
entonces vale la recíproca.
Sea A un álgebra de Hopf y consideremos Alg(A, k) el grupo de morfismos de álgebras de A en
k. Alg(A, k) actúa a izquierda y a derecha en A a través de:
β ⇀ a = a (1) < β, a (2) > y a ↼ β =< β, a (1) > a (2) ,
para todo a ∈ A y β ∈ Alg(A, k). Más aún, ambas acciones conmutan entre sí, es decir
β ⇀ (a ↼ β ′ ) = (β ⇀ a) ↼ β ′
para todo a ∈ A, β, β ′
∈ Alg(A, k) y el automorfismo de A definido por a ↦→ β ⇀ a ↼ β −1 para
β ∈ Alg(A, k) es un morfismo de álgebras de Hopf.
Definición 4.2.30. Dos ideales de Hopf I, J de un álgebra de Hopf A se dicen conjugados si
existe un morfismo de álgebras β ∈ Alg(A, k) tal que
J = β ⇀ I ↼ β −1 = {< β −1 , a (1) > a (2) < β, a (3) > | a ∈ I}.