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56 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
de diagrama de Φ y la aplicación ˆ : D → Aut d (Φ) es inyectiva. Además, si Int(G) es el subgrupo
de automorfismos interiores de G, entonces por [Hu2, Thm. 27.4] se tiene que Int(G) es normal en
Aut(G) y Aut(G) = Int(G) ⋊ D. En particular, Int(G) tiene índice finito en Aut(G).
Como para todo t ∈ T, el automorfismo interior Int(t) de G dado por la conjugación deja
invariantes a T y a B, ver [Hu2, Lemma 24.1], se sigue que la imagen Int(T) de T en Aut(G) es un
subgrupo de D.
Por otro lado, por [MuI, Cor. 5.7] se sigue que D está contenido en qAut(G). Denotemos por
Int(N G (T)) al subgrupo de automorfismos interiores de Aut(G) cuyos elementos están dados por
la conjugación de elementos del normalizador N G (T). Entonces se tiene el siguiente lema.
Lema 4.2.8. (a) qAut(G) es un subgrupo de Int(N G (T)) ⋊ D.
(b) T actúa en qAut(G) por multiplicación a izquierda de Int(T).
(c) El conjunto de órbitas qAut(G)/T correspondiente a la acción anterior es finito.
Demostración. Sea f ∈ qAut(G). Entonces existe α ∈ Int(G), β ∈ D tal que f = αβ. Como
f(T) = T y β(T) = T, se sigue que α(T) = T. Sea g ∈ G tal que α = Int(g), entonces Int(g)(T) =
gTg −1 = T, lo cual implica que g ∈ N G (T) de donde se sigue la afirmación (a).
Al ser Int(T) es un subgrupo de D, se sigue que Int(T) es un subgrupo de qAut(G). Por lo
tanto, la multiplicación a izquierda por elementos de Int(T) define una acción de T en qAut(G).
Por (a), tenemos que qAut(G) ⊆ Int(N G (T)) ⋊ D, entonces
| qAut(G)/T| ≤ |[Int(N G (T)) ⋊ D]/T| ≤ |N G (T)/T||D| = |W T ||D|,
donde W T es el grupo de Weyl asociado a T. La última igualdad se sigue del hecho C G (T) = T,
para todo G semisimple y W T = N G (T)/C G (T). Luego, (c) se sigue del hecho que los órdenes de
W T y D son finitos.
Cohomología de las extensiones:
Sea Γ un finito grupo y σ : Γ → G una inclusión de Γ en G. Entonces para cada automorfismo
f ∈ Aut(G) se define una acción de Γ en G, dependiendo de σ y f:
G × Γ ↼ −→ G, g ↼ x = (fσ(x)) −1 g(fσ(x)), (4.22)
para todo g ∈ G, x ∈ Γ. Claramente, ambas condiciones en (1.3) se satisfacen. Por lo tanto, una
función u ∈ Map(Γ, G) es un 1-coborde si y sólo si existe g ∈ G tal que
u(x) = ∂ 0 (g)(x) = (g ↼ x)g −1 = (fσ(x)) −1 g(fσ(x))g −1 , (4.23)
para todo x ∈ Γ, y una función v ∈ Map(Γ, G) es un 1-cociclo si y sólo si
v(xy) = (v(x) ↼ y)v(y) = (fσ(y)) −1 v(x)(fσ(y))v(y), (4.24)
para todo x, y ∈ Γ. Como la acción depende de σ y f, denotamos por Z 1 f,σ
(Γ, G) al conjunto de
1-cociclos asociados a esta acción. Sea Emb(Γ, G) el conjunto de inclusiones de Γ en G.