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3.2. ÁLGEBRAS DE HOPF CUASITRIANGULARES DE DIMENSIÓN P 3 37
Observación 3.2.4. El teorema anterior implica el resultado conocido que el álgebra de Taft T (q)
de dimensión p 2 , con p impar, no admite ninguna estructura cuasitriangular.
El siguiente resultado se debe a S. Gelaki.
Teorema 3.2.5. Sea (H, R) un álgebra de Hopf cuasitriangular de dimensión finita con antípoda
S sobre un cuerpo k de característica 0.
(a) [Ge1, Thm. 3.3] Si el elemento de Drinfeld u de H actúa como la multiplicación por un escalar
sobre cualquier representación irreducible de H (e.g. si H ∗ es punteada), entonces u = S(u)
y en particular S 4 = id.
(b) [Ge2, Thm. 1.3.5] Si H R es semisimple, entonces u = S(u) y S 4 = id.
(c) Si H ∗ es punteada, entonces H es semisimple o dim H es par.
Demostración. (c) se sigue de (a) y la Observación 1.1.21.
Ahora podemos probar nuestro primer resultado sobre álgebras de Hopf cuasitriangulares.
Proposición 3.2.6. Entre las álgebras de Hopf de la lista (a), . . . , (k) en la introducción, sólo
las álgebras de grupo y los núcleos de Frobenius-Lusztig u q (sl 2 ), con q ∈ G p {1}, admiten una
estructura cuasitriangular.
Demostración. Se sabe que las álgebras de grupo y los núcleos de Frobenius-Lusztig son cuasitriangulares,
ver [K, IX.7]. Luego, basta mostrar que las otras álgebras de Hopf de la lista no
admiten estructura cuasitriangular. Sean q ∈ G p {1} y m ∈ Z/(p) {1}.
Las álgebras de Hopf en los casos (d), (f) y (g) no admiten estructura cuasitriangular, ya
que poseen un epimorfismo de álgebras de Hopf al álgebra de Taft T (q) de dimensión p 2 y por la
Observación 3.2.4, T (q) no es cuasitriangular (ver [AS3, Section 1]).
Sea H una de las álgebras de Hopf ˜T (q), h(q, m), uq (sl 2 ) ∗ , r(q) ∗ , i.e. H es uno de los casos
(e), (i), (j), (k) de la lista. Entonces H ∗ es punteada y H es no semisimple de dimensión impar.
Por lo tanto, por el Teorema 3.2.5 (c), H no puede admitir una estructura cuasitriangular.
Sea G un grupo finito. Si H = k G admite una estructura cuasitriangular, entonces G es abeliano
por (QT1), pues k G es conmutativa y tendríamos que ∆ cop = ∆. EN particular, H es isomorfa a
un álgebra de grupo.
Finalmente, las álgebras de Hopf semisimples de dimensión p 3 en (c) no son cuasitriangulares
por [Mk4, Thm. 1].
Observación 3.2.7. La demostración para ˜T (q) de la Proposición 3.2.6 también se sigue de [R4,
Section 5]. En ese trabajo, Radford define álgebras de Hopf que dependen de ciertos parámetros
y prueba que estas álgebras admiten una estructura cuasitriangular si y sólo si estos parámetros
satisfacen ciertas relaciones. Se puede ver que estas álgebras de Hopf son de este tipo y las condiciones
necesarias para que admitan una estructura cuasitriangular no se cumplen.