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44 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
• n = dim h no depende de la elección de la subálgebra de Cartan. Luego, se define es el rango
de g como rg g = n.
• Denotaremos por Φ al sistema de raíces y por W al grupo de Weyl asociado.
• El reticulado de raíces de g se define por Q = ZΦ = ⊕ n
i=1 Zα i ⊆ h ∗ .
• Los pesos fundamentales ϖ 1 , . . . , ϖ n ∈ h ∗ están definidos por las condiciones
(α j , ϖ i ) = d i δ ij para todo 1 ≤ i, j ≤ n,
donde (−, −) es la forma bilineal positiva simétrica en h ∗ inducida por la forma de Killing de
g y d i = (α i,α i )
2
∈ {1, 2, 3}.
• El reticulado de pesos se define por P = ⊕ n
∑ i=1 Zϖ i ⊆ h ∗ . Más aún, se puede ver que α j =
n
i=1 a ijϖ i para todo 1 ≤ j ≤ n. En particular, Q ⊆ P .
Definición 4.1.1. Para todo reticulado M con Q ⊆ M ⊆ P se define el álgebra envolvente
cuantizada U q (g, M) de g como la Q(q)-álgebra generada por los elementos E 1 , . . . , E n , F 1 , . . . , F n
y {K λ | λ ∈ M}, que satisfacen las siguientes relaciones para λ, µ ∈ M y 1 ≤ i, j ≤ n:
K 0 = 1
K λ K µ = K λ+µ
K λ E j K −λ = q (α j,λ) E j , K λ F j K −λ = q −(α j,λ) F j ,
K αi − Kα −1
E i F j − F j E i = δ i
ij
q i − q −1
1−a
∑ ij
m=0
1−a
∑ ij
m=0
(−1) m[ 1−a ij
m
(−1) m[ 1−a ij
m
i
,
]q i
E 1−a ij−m
i
E j E m i = 0 (i ≠ j),
F
]q 1−a ij−m
i i
F j Fi m = 0 (i ≠ j).
Cuando M = Q, el álgebra U q (g, M) = U q (g, Q) se llama la forma adjunta del álgebra envolvente
cuantizada y se denota por U q (g). En el otro extremo, cuando M = P , el álgebra envolvente
cuantizada que se obtiene se llama la forma simplemente conexa y se denota por Ǔq(g).
Observación 4.1.2. Si E (m)
i
y F (m)
i
denotan Ei m y Fi
m divididos por (m) qi ! respectivamente, por
[L2] podemos escribir las últimas dos relaciones de la forma:
∑
(−1) s E (r)
i
E j E (s)
i
= 0 (i ≠ j),
r+s=1−a ij
∑
(−1) s F (r)
i
F j F (s)
i
= 0 (i ≠ j).
r+s=1−a ij
Teorema 4.1.3. U q (g, M) es un álgebra de Hopf con la estructura determinada por
∆(K λ ) = K λ ⊗ K λ ε(K λ ) = 1 S(K λ ) = K −λ
∆(E i ) = E i ⊗ 1 + K αi ⊗ E i ε(E i ) = 0 S(E i ) = −K −αi E i
∆(F i ) = F i ⊗ K −αi + 1 ⊗ F i ε(F i ) = 0 S(F i ) = −F i K αi