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3.2. ÁLGEBRAS DE HOPF CUASITRIANGULARES DE DIMENSIÓN P 3 39
Consideremos ahora el epimorfismo de álgebras de Hopf F : D(H) → H y la inclusión de
álgebras de Hopf F ∗ : H ∗ → D(H) ∗ definidas anteriormente. Como G(H ∗ ) ≠ 1, se tiene que
G = G(D(H) ∗ ) ≠ 1, y dualizando la extensión (3.3), obtenemos otra extensión de álgebras de Hopf
dada por
1 → A ∗ π
−→ ∗
D(H) ∗ ι
−→ ∗
k G → 1.
Sea L = F ∗ (H ∗ ) ⊆ D(H) ∗ . Como H ∗ es simple como álgebra de Hopf, por el Lema 3.2.8 se tiene que
L ⊆ π ∗ (A ∗ ) o L ∩ π ∗ (A ∗ ) = k1. Pero lo último no puede ocurrir, ya que de lo contrario la restricción
ι ∗ | L : L → k G sería inyectiva, implicando que H ∗ es semisimple. Por lo tanto L ⊆ π ∗ (A ∗ ).
Entonces existen β ∈ G(H ∗ ), β ≠ ε y x ∈ G(H) {1} tales que x#β ∈ G(π ∗ (A ∗ )) ⊆ G. Más
aún, como la imagen de G en D(H) es central y F es un epimorfismo de álgebras de Hopf, se sigue
que F (β#x) ∈ G(H) ∩ Z(H) y por simplicidad de H tenemos que F (β#x) = 1.
Al ser ambos elementos modulares no triviales, se sigue que G(H ∗ ) =< α > y G(H) =< g >
y por lo tanto |G(D(H))| = p 2 . Más aún, |G(H ∗ )| = |G(A ∗ )| = p, pues de lo contrario |G(A ∗ )| =
|G(D(H) ∗ )| = |G(D(H))| = p 2 y esto implicaría que H contiene un elemento de tipo grupo central
no trivial, lo cual contradice la hipótesis de simplicidad de H. Por consiguiente el elemento de tipo
grupo β#x genera G(π ∗ (A ∗ )), y β = α j , x = g i para ciertos 1 ≤ i, j ≤ p − 1. En particular,
1 = F (α j #g i ) =< α j , R (1) > R (2) g i = f R (α j )g i = f R (α) j g i = g j g i .
Entonces se tiene que j ≡ −i mod p y π ∗ (G(A ∗ )) =< g#α −1 >. Más aún, por [Na2, Cor. 2.3.2], se
sigue que < α −1 , g > 2 = 1, y esto implica que 1 =< α −1 , g >=< α, g > −1 , pues |G(H)| = |G(H ∗ )| =
p y p es impar.
Probamos ahora uno de nuestros resultados principales.
Teorema 3.2.10. Sea H un álgebra de Hopf cuasitriangular de dimensión p 3 . Entonces
(i) H es un álgebra de grupo, o
(ii) H es isomorfa a u q (sl 2 ), para algún q ∈ G p {1}, o
(iii) H es un álgebra de Hopf extraña de tipo (p; p) y el morfismo f R es un isomorfismo. Más aún,
H y H ∗ son cuasitriangulares minimales, 1 =< β, x > para todo β ∈ G(H ∗ ), x ∈ G(H), y
ord S = 4p.
Demostración. Si H es semisimple, el afirmación se sigue de [Mk4, Thm. 1], ya que H es isomorfa
a un álgebra de grupo.
Supongamos ahora que H es no semisimple y sea H R la subálgebra de Hopf cuasitriangular
minimal de H. Recordar que H R = KL = LK, donde K = Im f R y L= Im f ˜R.
Por el Teorema
3.2.5 (b) y la Observación 1.1.21, H R es necesariamente no semisimple. Como por [Z, Thm. 2] y
[Ng, Thm. 5.5], las únicas álgebras de Hopf no semisimples cuyas dimensiones son una potencia de
p con exponente menor a 3 son las álgebras de Taft y las álgebras de Taft no son cuasitriangulares
por la Observación 3.2.4, concluimos que dim H R = p 3 .