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5.2. CONSTRUCCIÓN DE SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS 73
Eligiendo una expresión reducida s i1 · · · s iN del mayor elemento del grupo de Weyl, se puede
ordenar totalmente la parte positiva Φ + del sistema de raíces Φ con β 1 = α i1 , β 2 = s i1 α i2 , . . . , β N =
s i1 · · · s iN−1 α iN . Luego, usando los automorfismos de álgebras T i introducidos por Lusztig [L2] se
pueden definir vectores raíces correspondientes E βk = T i1 · · · T ik−1 E ik y F βk = T i1 · · · T ik−1 F ik .
Recordemos que R = Q[q, q −1 ] con q una indeterminada y que χ l (q) ∈ R es el l-ésimo polinomio
ciclotómico (ver página 43). Consideremos ahora los R-submódulos de Γ(g) dados por
{ ∏
J l = R
β≥0
{ ∏
Γ l = R
β≥0
F (n β)
β
·
F (n β)
β
·
n∏
i=1
n∏
i=1
( )
Kαi ; 0
K Ent(t i/2)
α
t i
· ∏
}
E α (mα) : ∃ n β , t i , m α ≢ 0 mod (l) ,
i
α≥0
( )
Kαi ; 0
K Ent(t i/2)
α
t i
· ∏
}
E (m α)
α : ∀ n β , t i , m α ≡ 0 mod (l) .
i
α≥0
Luego, por [DL, Thm. 6.3], existe una descomposición de R-módulos libres Γ(g) = J l ⊗ Γ l y
Γ l /[χ l (q)Γ l ] ≃ U(g) Q(ɛ) . Denotemos por Q I± = ⊕ α i ∈I ±
Zα i a los subretículos de Q con soporte en
I + e I − respectivamente. Definimos entonces los siguientes R-submódulos de Γ(l):
{ ∏
n∏
( )
I l = R F (n β) Kαi ; 0
β
·
K Ent(t i/2)
α
t i
· ∏
E (m α)
α :
i
β≥0 i=1
α≥0
}
∃ n β , t i , m α ≢ 0 mod (l) con β ∈ Q I− , α ∈ Q I+ , 1 ≤ i ≤ n
{ ∏
n∏
( )
Θ l = R F (n β) Kαi ; 0
β
·
K Ent(t i/2)
α
t i
· ∏
E α (mα) :
i
β≥0 i=1
α≥0
}
∀ n β , t i , m α ≡ 0 mod (l) con β ∈ Q I− , α ∈ Q I+ , 1 ≤ i ≤ n
Usando la descomposición de Γ(g) como R-módulo libre tenemos el siguiente lema.
Lema 5.2.2. Existe una descomposición de R-módulos libres Γ(l) = I l ⊗ Θ l . En particular, Γ(l)
es un sumando directo de Γ(g) como R-módulo.
Demostración. Puesto que Γ(g) = J l ⊗ Γ l como R-módulos libres, I l ⊗ Θ l es un R-módulo
libre que claramente está contenido en Γ(l). Luego, basta mostrar que Γ(l) ⊆ I l ⊗ Θ l , pero esto se
sigue directamente del hecho que Γ(l) está generada como álgebra sobre R por los elementos en la
Definición 5.2.1 que satisfacen las relaciones de la Observación 4.1.5.
Consideremos ahora la Q(ɛ)-álgebra Γ ɛ (l) := Γ(l)/[χ l (q)Γ(l)] dada por el cociente por el ideal
bilátero generado por el polinomio ciclotómico χ l (q).
Proposición 5.2.3.
(a) Γ ɛ (l) es una subálgebra de Hopf de Γ ɛ (g).
(b) Γ ɛ (g) ≃ Γ(g) ⊗ R R/[χ l (q)R] y Γ ɛ (l) ≃ Γ(l) ⊗ R R/[χ l (q)R].