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for any maximal reductive subgroup M of G. As the maximal subalgebras of the simple Lie algebras were classified by Dynkin, we have proved this by inspection in the lists of [D1, D2]. See the Appendix for details. Finally, using the machinery developed in the previous chapters, we determine in Chapter 5 all finite subgroups of a simple quantum group at roots of 1, generalizing in this way the classification of E. Müller for the case of type A n . Specifically, we show first how to construct finite-dimensional quotients of O ɛ (G) and then we prove that this construction is exhaustive, that is, all finite-dimensional quotients of O ɛ (G) can be constructed in such a way. Let h ⊆ g be a fixed Cartan subalgebra, Π the basis of the root system Φ(g, h) of g with respect to h and n = rg g. Briefly, every quotient is determined by a 6-tuple D = (I + , I − , N, Γ, σ, δ) which will be called finite subgroup datum where • I + ⊆ Π and I − ⊆ −Π. This sets define an algebraic Lie subalgebra l with connected Lie subgroup L of G such that l = l + ⊕ h ⊕ l − and l ± = ∑ α∈Ψ ± g α with Ψ ± = {α ∈ Φ : Sup α = I ± }. Let s = n − |I + ∪ −I − | • N is a subgroup of (Z/(l)) s . • Γ is a finite group. • σ : Γ → L is an injective group homomorphism. • δ : N → ̂Γ is a group homomorphism.
Agradecimientos Esta tesis ha sido realizada durante mi estadía en tres universidades: la Universidad de Buenos Aires (UBA), la Universidad de Munich, Alemania (Ludwig-Maximilians Universität, LMU) y la Universidad de Córdoba (UNC); siempre bajo la dirección de Nicolás Andruskiewitsch. Por ello, quiero agradecerle a Nicolás por haberme guiado de manera excelente durante todos estos años. Creo que sus aportes fueron fundamentales para mi formación como matemático. También quiero agradecer profundamente a María Ofelia Ronco y a Hans-Jürgen Schneider, pues he aprendido mucho de ellos y me han apoyado constantemente durante mis estadías en Buenos Aires y en Munich. Durante mi doctorado he tenido el placer de conocer a varias personas que han influido de manera notable tanto en mi formación académica como humana. Es por tal motivo que quisiera agradecerle a Matías Graña, Fernando Cukierman y Eduardo Dubuc de la UBA, a Stefan Ufer, Daniela Hobst, York Sommerhäuser, Peter Schauenburg de la LMU y a Martín Mombelli, Fernando Fantino, César Galindo, Sonia Natale, Jorge Vargas, Roberto Miatello y Leandro Cagliero de la UNC. Por otro lado, creo que sin el apoyo de personas por fuera de la matemática, no hubiera podido realizar esta tesis de manera eficiente; sobre todo en Munich. Es por ello que me siento en deuda tanto con mi esposa Ana Inés, por haberme apoyado incondicionalmente y por haberme acompañado en todo momento, como con mi familia, en especial con mi madre, por haberme dado tanto sin pedir nada a cambio. También han sido para mí de gran apoyo Guillermo M., Guillermo F., Aníbal A., Martín M., Pablo A., Leandro Z., Pablo G., Julio R., Julian F-B., Marcus, Flo, Martin, Jens, Vannesa, Mario, Rudi, Karli, Christian, Pablo R., Mauricio T., Marcos G., Sebastián S., Ricardo P., Pablo R., Jesus O. y Agustín G. Finalmente quisiera agradecerle a la Agencia de Intercambio Académico Alemán (DAAD) por brindarme el apoyo para poder estudiar en Munich, y a la Universidad de Buenos Aires y al CO- NICET por haberme hecho posible el estudio de doctorado en el país.
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BIBLIOGRAFÍA 111 [R3] D. Radford,
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