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1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BÁSICOS 3
Análogamente se define un C-comódulo a izquierda. Las categorías de C-comódulos a derecha y a
izquierda se denotarán por M C y C M respectivamente. También usaremos la notación sigma de
Sweedler para los comódulos: si M es un C-comódulo a derecha, entonces escribimos
ρ(m) = m (0) ⊗ m (1) ∈ M ⊗ C para todo m ∈ M.
Análogamente, si M es un C-comódulo a izquierda con morfismo de estructura λ : M → C ⊗ M
entonces escribimos
ρ(m) = m (−1) ⊗ m (0) ∈ C ⊗ M para todo m ∈ M.
Sean M y N dos C-comódulos a derecha con morfismos de estructura ρ M y ρ N respectivamente.
Una aplicación lineal f : M → N es un morfismo de C-comódulos a derecha si ρ N ◦f = (f ⊗id)◦ρ M .
Ejemplo 1.1.6. Sea f : C → D un morfismo de coálgebras. Entonces C es un D-comódulo a
derecha y a izquierda vía los morfismos
ρ = (id ⊗f)∆ : C → C ⊗ D y λ = (f ⊗ id)∆ : C → D ⊗ C.
Definición 1.1.7. Sea C una coálgebra.
(i) Un elemento c ∈ C se dice de tipo grupo si ∆(c) = c ⊗ c y ε(c) = 1. El conjunto de elementos
de tipo grupo de C se denota por G(C).
(ii) Sean a, b ∈ G(C). El conjunto de elementos (a, b)-casi-primitivos de C se define como
P a,b = {c ∈ C| ∆(c) = a ⊗ c + c ⊗ b};
en particular, k(a − b) ⊆ P a,b . Diremos que un elemento casi-primitivo c ∈ C es trivial si
c ∈ k[G(C)].
Diremos que una coálgebra C es simple si no posee subcoálgebras propias y diremos que es
cosemisimple si es suma directa de subcoálgebras simples. En particular, se define el corradical de C
como la suma de todas las subcoálgebras simples de C y se denota por C 0 . Si todas las subcoálgebras
simples de C tienen dimensión uno, entonces C se dice punteada y se tiene que C 0 = k[G(C)].
De hecho, el corradical C 0 de una coálgebra C es el menor elemento de una filtración de C.
Diremos que una familia de subespacios {C n } n∈N de C es una filtración de coálgebras si
(i) C n ⊆ C n+1 y C = ∪ n∈N C n .
(ii) ∆(C n ) ⊆ ∑ n
i=0 C i ⊗ C n−i .
Si C 0 es el corradical de C, entonces se define recursivamente C n para n ≥ 1 como:
C n = ∆ −1 (C ⊗ C n−1 + C 0 ⊗ C).
Luego, {C n } n∈N es una familia de subcoálgebras de C que da una filtración de coálgebras, ver [Mo,
Cap. 5], [Sw, Cap. IX]. Dicha filtración recibe el nombre de filtración corradical de C.