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APÉNDICE 97
Tabla A.3: Subálgebras maximales no regulares de álgebras de Lie simples excepcionales
g dim g m dim m dim g − rg g
G 2 14 A 1 3 12
F 4 52 A 1 3 48
G 2 + A 1 17
E 6 78 A 1 3 72
G 2 14
C 4 36
G 2 + A 2 22
F 4 52
E 7 133 A 1 3 126
A 2 8
G 2 + C 3 35
F 4 + A 1 55
G 2 + A 1 17
A 1 + A 1 6
E 8 248 A 1 3 240
G 2 + F 4 66
A 1 + A 2 11
B 2 10
Recordemos brevemente cómo se realizan las álgebras de Lie simples sobre C. En lo que sigue,
V denotará un espacio vectorial complejo.
A n : sea dim V = n + 1. Denotamos por sl n+1 , el álgebra especial lineal, al conjunto de endomorfismos
de V que tienen traza cero. Su dimensión es dim sl n+1 = (n + 1) 2 − 1 y su rango es n. Por
lo tanto dim sl n+1 − rg sl n+1 = (n + 1) 2 − (n + 1).
C n : sea dim V = 2n con base {v 1 , . . . , v 2n }. Se define una forma bilineal antisimétrica f de V por
la matriz s = ( 0 I n
)
I n 0 . Denotamos por sp2n , el álgebra simpléctica, al conjunto de endomorfismos T
de V que satisfacen que f(T (v), w) = −f(v, T (w)) para todo v, w ∈ V . Su dimensión es dim sp 2n =
2n 2 + n y su rango es n. Por lo tanto dim sp 2n − rg sp 2n = 2n 2 .
B n : sea dim V = 2n + 1 con base {v
( 1 , . . . , v 2n+1 }. Se define una forma bilineal simétrica no
1 0 0
)
degenerada f de V por la matriz s = 0 0 I n . Denotamos por so 2n+1 , el álgebra ortogonal, al
0 I n 0
conjunto de endomorfismos T de V que satisfacen que f(T (v), w) = −f(v, T (w)) para todo v, w ∈
V . Su dimensión es dim so 2n+1 = 2n 2 +n y su rango es n. Por lo tanto dim so 2n+1 −rg so 2n+1 = 2n 2 .
D n : sea dim V = 2n con base {v 1 , . . . , v 2n }. Se define una forma bilineal simétrica no degenerada
f de V por la matriz s = ( 0 I n
)
I n 0 . El álgebra ortogonal so2n , se define de manera análoga al caso
dim V = 2n+1. Su dimensión es dim so 2n = 2n 2 −n y su rango es n. Por lo tanto dim so 2n −rg so 2n =
2n 2 − 2n.
Definición A.3.1. Diremos que un grupo G de transformaciones lineales del espacio complejo