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INTRODUCCIÓN
Luego de estos dos pasos se obtiene un álgebra de Hopf A p,r,ξ de dimensión finita asociada a los
epimorfismos p : B → K, r : H → L, y la retracción ξ : A p → K, esto es, a una terna (p, r, ξ) que
hace el siguiente diagrama conmutativo
1 B
p
1 K
p ξ
ι
j
ξ
A
q
π
H 1
A p
π p
H 1
1 K r,ξ
j ξ A p,r,ξ
π ξ L 1.
q ξ
γ
r
Posteriormente, aplicamos la primera construcción a un caso concreto. Sean G un grupo de Lie
conexo, simplemente conexo y semisimple sobre C, g su álgebra de Lie con matriz de Cartan C y
matriz simetrizada de Cartan CD. Sea l ≥ 3 un número natural impar, coprimo con det CD y sea
ɛ una raíz l-ésima primitiva de la unidad. El álgebra de coordenadas cuantizada O ɛ (G) de G en ɛ
es una extensión central de O(G), el álgebra de funciones coordenadas sobre G, por el álgebra de
Hopf H = O ɛ (G)/O(G) + O ɛ (G). Esta álgebra de Hopf H resulta ser isomorfa al dual del núcleo de
Frobenius-Lusztig u ɛ (g) de g en ɛ y O ɛ (G) es parte de una sucesión exacta de álgebras de Hopf
1 → O(G) ι −→ O ɛ (G) π −→ u ɛ (g) ∗ → 1.
La inclusión O(G) ι −→ O ɛ (G) está asociada al morfismo cuántico de Frobenius, de allí el nombre de
u ɛ (g). Más aún, existe un toro maximal fijo T ⊆ G asociado a esta inclusión, ver Subsección 4.1.2.
Si notamos A = O ɛ (G), B = O(G) y H = u ɛ (g) ∗ , dada una inclusión σ de un grupo finito Γ en
G y usando la primera construcción se obtiene una extensión central A σ del álgebra de funciones
C Γ por el dual del núcleo de Frobenius-Lusztig u ɛ (g); ésta viene dada por la sucesión exacta
1 → C Γ → A σ → u ɛ (g) ∗ → 1.
Además, A σ es un cociente del álgebra de coordenadas cuantizada O ɛ (G) y dim A σ = |Γ|l dim g .
Seguidamente estudiamos las clases de isomorfismos de este tipo de extensiones. Suponiendo que
G es simple, mostramos en el Teorema 4.2.20 que el conjunto de isomorfismos de álgebras de Hopf
de las extensiones centrales A σ inducen una relación de equivalencia en el conjunto Emb(Γ, G) de
inclusiones de Γ en G. Esta equivalencia está dada por una terna (τ, f, v), donde τ ∈ Aut(Γ), f
pertenece a un subgrupo qAut(G) de Aut(G) y v es un 1-cociclo con respecto a la cohomología de
Γ en un subgrupo T fσ del toro maximal T de G fijado por la inclusión ι. Sea σ ∈ Emb(Γ, G) y
supongamos que σ(Γ) no es central en G. En el Teorema 4.2.23 mostramos que la inclusión σ da
lugar a una familia infinita de álgebras de Hopf A σi no isomorfas entre sí, que son no semisimples, no
punteadas, de dimensión |Γ|l dim g y sus duales tampoco son punteados. Esto generaliza el resultado
obtenido por E. Müller [Mu2] para SL 2 (C). Sin embargo, se sigue de resultados en [Mk5] que estas
álgebras de Hopf son deformaciones por cociclos unas de otras. Cabe destacar que la construcción de
tal familia requiere algunas preparaciones técnicas en la cohomología de Γ en T fσ y la desigualdad
dim G > rg G + dim M