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48 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
4.1.2. Un toro maximal
En esta subsección mostraremos que la inclusión dada por el Teorema 4.1.10 (a) determina un
toro maximal T de G.
Sea k = C. En [DL, Section 9.2], se define una acción de C n en Γ ɛ (g): sea φ ′ : Γ(g) → Γ ɛ (g) la
proyección canónica y, para cada 1 ≤ i ≤ n sea H i el elemento primitivo dado por
( )
K
l
H i = φ ′ αi
− 1
l(qi l − 1) ∈ Γ ɛ (g) para todo 1 ≤ i ≤ n.
Entonces para cualquier n-upla (p 1 , . . . , p n ) ∈ C n y para cualquier Γ ɛ (g)-módulo M de dimensión
finita, los elementos exp( ∑ i p iH i ) definen operadores en M que conmutan con todo morfismo
de Γ ɛ (g)-módulos. Por lo tanto, definen caracteres sobre O ɛ (G). Claramente, los elementos
exp( ∑ i p iH i ) ∈ O ɛ (G) ∗ forman un grupo y el morfismo dado por
φ : C n → Alg(O ɛ (G), C),
( ∑
(p 1 , . . . , p n ) ↦→ exp
i
p i H i
)
,
define un morfismo de grupos cuyo núcleo es el subgrupo 2πilZ n . Más aún, se tiene el siguiente
resultado.
Teorema 4.1.12. El monomorfismo (C/2πilZ) n ↩→ Alg(O ɛ (G), C) es un isomorfismo.
Demostración. Ver [DL, Thm. 10.8].
Además, la inclusión O(G) −→ ι O ɛ (G) dada por el Teorema 4.1.10 (a) induce por restricción un
morfismo de grupos Alg(O ɛ (G), C) t ι
−→ Alg(O(G), C). La composición de este morfismo de grupos
con φ define un morfismo de grupos
ϕ : C n
φ −→ Alg(O ɛ (G), C) t ι
−→ Alg(O(G), C) = G,
cuyo núcleo es el subgrupo 2πiZ n , por [DL, Prop. 9.3 (c)]. Sea T el subgrupo de G dado por la
imagen de ϕ.
Lema 4.1.13. T es un toro maximal en G.
Demostración. De la definición se sigue que T ≃ (C/2πiZ) n ≃ (C × ) n . Luego T es abeliano,
semisimple, conexo y dim T = n. Si T no fuera maximal, existiría un toro maximal T ′
tal que
T ⊆ T ′ . Si h y h ′
son sus álgebras de Lie, tendríamos que h ⊆ h ′ , pues G es conexo. Pero entonces
dim h ′ = n = dim h, lo que implica que h ′ = h, y por lo tanto T = T ′ .
4.1.3. Una sucesión exacta
Finalizamos esta sección mostrando explícitamente quién es el cociente de O ɛ (G) por su subálgebra
de Hopf central O(G).