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32 CAPÍTULO 3. SOBRE ÁLGEBRAS DE HOPF DE DIMENSIÓN P 3
Por otro lado, al ser H no semisimple se tiene que < ε, Λ > =< ε, π(Λ) > = 0 y esto implica
que π(Λ) = 0, por ser π(Λ) una integral a izquierda y L semisimple. Entonces Λ ∈ Ker π ∩ I 0,0 y
por lo tanto, (3.2) implica que Λ = 0, lo cual es una contradicción a nuestra elección de Λ.
Observación 3.1.10. Sean H, I 0 , Λ y α ∈ G(H ∗ ) como en el Teorema 3.1.9 y sean e 0 , . . . , e s
idempotentes primitivos de k[G(H)] tales que 1 = e 0 + · · · + e s . Entonces Λ ∈ I 0 si y sólo si
< α, x >= 1, para todo x ∈ G(H).
Demostración. Supongamos que Λ ∈ I 0 . Entonces existe h ∈ H tal que Λ = he 0 . En particular,
para todo x ∈ G(H) se tiene que Λx =< α, x > Λ = he 0 x = he 0 = Λ, y esto implica que
< α, x >= 1, para todo x ∈ G(H).
Recíprocamente, supongamos que < α, x >= 1, para todo x ∈ G(H). Como H = He 0 +· · ·+He s ,
existen h 0 , . . . , h s ∈ H tal que Λ = h 0 e 0 + · · · + h s e s . Puesto que < α, e 0 >= 1, se tiene que
Λ =< α, e 0 > Λ = Λe 0 = h 0 e 0 , lo que implica que Λ ∈ I 0 .
Observación 3.1.11. La demostración del teorema anterior estuvo inspirada en algunos resultados
de Ng; los espacios I j,m , 0 ≤ j, m ≤ p − 1 son el espacios H w 0,m,j , w = q ∈ G p {1}, definidos en
[Ng, Section 3] en el caso particular que S 2p = id.
Corolario 3.1.12. Sea H un álgebra de Hopf no semisimple de dimensión p 3 y tipo (p; p).
(a) Entonces el orden de la antípoda es 2p o 4p.
(b) Si < β, x >= 1 para todo β ∈ G(H ∗ ), x ∈ G(H), entonces el orden de la antípoda es 4p.
Demostración. (a) Como H es no semisimple, el orden de la antípoda es mayor a 2 y por la
fórmula (1.1) debe dividir a 4p. Luego, ord S es 2p o 4p, ya que éste es par y p es impar.
(b) Consideremos el epimorfismo de álgebras de Hopf π : H −→ k G(H∗) dado por la fórmula
< π(h), β >=< β, h > para todo h ∈ H, β ∈ G(H ∗ ). Entonces π(x) = 1 para todo x ∈ G(H),
ya que por hipótesis < β, x >= 1 para todo β ∈ G(H ∗ ), x ∈ G(H). Luego, la afirmación se sigue
directamente del Teorema 3.1.9, pues k G(H∗) es semisimple, dim k G(H∗) = p = dim H/p|G(H)| y
S 4p = id.
Sea H un álgebra de Hopf provista de una proyección H π −→ B, que admite una sección de álgebras
de Hopf B γ −→ H. Entonces A = H co π es un álgebra de Hopf en la categoría de módulos de Yetter-
Drinfeld sobre B y H es isomorfa al producto smash A#B. En tal caso, siguiendo la terminología
de Majid, decimos que H es una bosonización de B. Por referencias sobre la correspondencia entre
álgebras de Hopf con una proyección y álgebras de Hopf en la categoría de módulos de Yetter-
Drinfeld ver [Mj], [R5].
Proposición 3.1.13. Sea H un álgebra de Hopf no semisimple de dimensión finita y supongamos
que G(H) es no trivial, abeliano y G(H) ≃ G(H ∗ ).
(a) Si |G(H)| = p, entonces H es una bosonización de k[G(H)] si y sólo si existe β ∈ G(H ∗ ) y
x ∈ G(H) tal que < β, x >≠ 1.
(b) Si dim H = p|G(H)|, entonces H es una bosonización de k[G(H)].