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54 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Teorema 4.2.4. Sea G un grupo de Lie conexo, simplemente conexo y semisimple sobre C.
Sean Γ un grupo finito y σ : Γ → G una inclusión de Γ en G tal que σ(Γ) no está incluido en el
toro maximal T. Entonces el álgebra de Hopf A σ construida anteriormente es no semisimple, no
punteada y su dual tampoco es punteado. Es un cociente de O ɛ (G) de dimensión |Γ|l dim g y encaja
en la sucesión exacta
1 → C Γ → A σ → u ɛ (g) ∗ → 1,
donde C Γ es central en A σ .
Demostración. Sabemos que O ɛ (G) encaja en la sucesión exacta (4.19) y que es una extensión
central de O(G) por u ɛ (g) ∗ . Como σ(Γ) es un subgrupo de G, por el Lema 4.2.1 existe un epimorfismo
de álgebras de Hopf ϱ : O(G) → C Γ . Si denotamos J = Ker ϱ y (J ) = J O ɛ (G), entonces C Γ ≃
O(G)/J y por la Proposición 2.3.1, el álgebra de Hopf A σ = O ɛ (G)/(J ) está dada por un pushout
y encaja en la sucesión exacta
1 → C Γ → A σ → u ɛ (g) ∗ → 1,
donde C Γ es central en A σ . Por el Lema 4.2.3, A σ es no semisimple y no punteada pues, como
es sabido, el álgebra de Hopf u ɛ (g) ∗ no es semisimple ni punteada. El hecho que A ∗ σ tampoco es
punteada se sigue del Lema 4.2.2.
4.2.2. Cohomología de grupos y equivalencia de inclusiones
Para describir las clases de isomorfismos de este tipo de extensiones necesitaremos algunos
resultados básicos de cohomología de grupos. Seguimos la misma notación que en la Subsección 1.2.
De ahora en más supondremos que G es simple.
Propiedades de las extensiones:
Sea Γ un grupo finito. Por el Teorema 4.2.4, para toda inclusión σ : Γ → G tenemos un álgebra
de Hopf de dimensión finita A σ que encaja en el siguiente diagrama conmutativo
1 O(G)
ι
O ɛ (G)
π
u ɛ (g) ∗ 1
1
p
C Γ
j
q
A σ π u ɛ (g) ∗ 1.
Comenzamos primero mostrando que la u ɛ (g) ∗ -extensión O ɛ (G) de O(G) satisface la propiedad
(L) de la Subsección 2.3.3.
Lema 4.2.5. Cada automorfismo de u ɛ (g) induce un automorfismo de G, que deja invariante
a T.
Demostración. Por la Observación 4.1.16, podemos ver a u ɛ (g) como una subálgebra de Hopf
de Γ ɛ (g) a través de la inclusión t π : u ɛ (g) → Γ ɛ (g). Sea F un automorfismo de u ɛ (g). Por [MuI,
Cor. 5.10], existe un único automorfismo F de Γ ɛ (g) tal que F | uɛ (g) = F , esto es F t π = t πF .