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4.2. COCIENTES DE O ɛ (G) DE DIMENSIÓN FINITA 51
que se verifican las relaciones (4.10) y (4.11). La relación
( )
(4.3) se
[
satisface
]
directamente cuando
t + s t + s
t + s < l. Si t + s ≥ l, ϕ satisface la relación pues ɛ m i
= con m ∈ Z y ɛ
t
t
i = ɛ d i
, y
ɛ 2 i
ɛ
[ ]
i
t + s
por [L3, Lemma 34.1.2] se tiene que = 0. Análogamente, la relación (4.4) se satisface para
t
ɛ i
t < l y t > l. Para t = l y c = 0 la relación se lee
(
Kαi ; 1
l
) (
− qi
l Kαi ; 0
l
)
=
(
Kαi ; 0
l − 1
)
,
y es simplemente la misma relación que (4.5). Usando las definiciones se ve claramente que la
relación (4.7) para c = 0 es la misma relación que (4.4). Las relaciones (4.12) y (4.13) se satisfacen
trivialmente para el caso en que r + s < l.
[
Si r +
]
s ≥ l tenemos que E (r)
i
E (s)
i
= 0 en u ɛ (g) pues
r + s
la relación se satisface en Γ ɛ (g) y vale que
= 0. Por la Observación 4.1.2, las relaciones
r
ɛ i
(4.14) y (4.15) son relaciones en Ǔq(g). Por ser u ɛ (g) un cociente de Ǔq(g), éstas se verifican luego
de tomar el cociente por el álgebra central Z 0 , que en particular contiene a los elementos Ei l, F i
l
para todo 1 ≤ i ≤ n. Como aplicar ϕ a la ecuación es lo mismo que ver la ecuación en el cociente,
se sigue que ϕ satisface estas dos relaciones. Finalmente, por [L3, Cor. 3.1.9], la relación (4.16) y
las relaciones cuánticas de Serre (4.17) y (4.18) se satisfacen en Ǔq(g), por lo tanto, ϕ las satisface
por satisfacer las anteriores. Esto implica que ϕ es un morfismo de álgebras bien definido tal que su
imagen es u ɛ (g) y ϕ| uɛ (g) = id.
Resumiendo lo visto en esta sección, tenemos que el álgebra de coordenadas cuantizada O ɛ (G)
de G en ɛ es una extensión central de O(G) y O ɛ (G) es fielmente playa sobre O(G). En particular,
O ɛ (G) encaja en la sucesión exacta
1 → O(G) ι −→ O ɛ (G) π −→ u ɛ (g) ∗ → 1. (4.19)
4.2. Cocientes de O ɛ (G) de dimensión finita
Continuamos en esta sección con la misma notación que en la Sección 4.1; en particular, se tiene
un toro fijo T de G (ver Subsección 4.1.2). En lo que sigue construimos nuevos ejemplos de álgebras
de Hopf de dimensión finita que son extensiones de álgebras de funciones de subgrupos finitos no
centrales Γ de un grupo de Lie G conexo, simplemente conexo y semisimple sobre C, por el dual del
núcleo de Frobenius-Lusztig u ɛ (g). De aquí en más supondremos que k = C.
4.2.1. Construcción de los cocientes
Comenzamos esta subsección estableciendo explícitamente el siguiente resultado clásico.
Lema 4.2.1. Sea Γ un subgrupo finito de G. Entonces existe un epimorfismo de álgebras de
Hopf ϱ : O(G) → C Γ . Recíprocamente, si ϱ : O(G) → H es un epimorfismo de álgebras de Hopf y
H es de dimensión finita, entonces existe un subgrupo finito Γ de G tal que H ≃ C Γ .