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50 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES DE GRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Demostración. Ver [BG, Thm. III.7.10].
Observación 4.1.16. Varios autores definen el núcleo de Frobenius-Lusztig u ɛ (g) como la subálgebra
de Γ ɛ (g) generada por los elementos E i , F i y K αi para 1 ≤ i ≤ n, la cual es de hecho una
subálgebra de Hopf de Γ ɛ (g). Sin embargo, esta definición coincide con la dada aquí (ver [BG] para
más detalles): por la Proposición 4.1.9, sabemos que existe un apareamiento de Hopf perfecto
que induce un apareamiento de Hopf perfecto
O ɛ (G) ⊗ Q(ɛ) Γ ɛ (g) → Q(ɛ),
O ɛ (G) ⊗ Q(ɛ) Û ɛ (g) → Q(ɛ),
donde Ûɛ(g) es la subálgebra de Hopf de Γ ɛ (g) generada por los elementos E i , F i y K αi para
1 ≤ i ≤ n. Esto induce un morfismo de álgebras de Hopf de O ɛ (G) a Ûɛ(g) ∗ que es un isomorfismo
por [BG, Dem. del Thm. III.7.10]. Por lo tanto, u ɛ (g) es isomorfa a Ûɛ(g) y el epimorfismo
π : O ɛ (G) → O ɛ (G)
se corresponde con un monomorfismo t π : u ɛ (g) → Γ ɛ (g) ⊆ O ɛ (G) ◦ .
Más aún, el siguiente resultado muestra que no sólo el núcleo de Frobenius-Lusztig es un cociente
de Ǔɛ(g) sino que también es un cociente de Γ ɛ (g).
Proposición 4.1.17. Existe un epimorfismo de álgebras ϕ : Γ ɛ (g) → u ɛ (g) tal que ϕ| uɛ (g) = id.
Demostración. Como Γ ɛ (g) = Γ(g)/[χ l (q)Γ(g)], podemos definir ϕ como una aplicación de Γ(g)
en u ɛ (g) tal que ϕ(q) = ɛ. Sea entonces ϕ el único morfismo de álgebras que toma los siguientes
valores en los generadores:
ϕ(E (m)
i
) =
ϕ(F (m)
i
) =
ϕ( ( K αi ;0
m
{
E (m)
i
{
F (m)
i
)
) =
{(
Kαi ;0
m
si 1 ≤ m < l
0 si l ≥ m
si 1 ≥ m < l
,
0 si l ≥ m
)
si 1 ≤ m < l
0 si l ≤ m
ϕ(K −1
α i
) = K l−1
α i
ϕ(q) = ɛ,
para todo 1 ≤ i ≤ n. Puesto que ϕ es, por definición, la identidad en los generadores de u ɛ (g)
y Ei
l = 0 = Fi l,
Kl α i
= 1 en u ɛ (g), de un cálculo directo se sigue que ϕ satisface las relaciones
dadas en la Observación 4.1.5. En efecto, es claro que ϕ satisface las relaciones
(
(4.1), (4.2),
)
(4.8)
Kαi ; c
y (4.9). Además, las relaciones (4.5) y (4.6) solamente dicen que los elementos
están
t
en la R-subálgebra generada por los elementos de la forma
(
Kαi ; 0
relaciones restantes para los elementos
s
,
(
Kαi ; 0
s
,
)
. Luego, basta verificar las
)
. Así, de la definición de ϕ se sigue directamente