Abrir - RDU - Universidad Nacional de Córdoba

3.1. RESULTADOS GENERALES 33
Demostración. (a) Supongamos que H es una bosonización de k[G(H)]. Entonces existe una proyección
de álgebras de Hopf H −→ π k[G(H)] que admite una sección de álgebras de Hopf k[G(H)] −→
γ
H, con π ◦ γ = id. Sea G = G(H) y denotemos por Ĝ al grupo de caracteres de G. En lo que
sigue, identificamos Ĝ con Alg(k[G], k) = G(k[G]∗ ). Como G ≠ 1, existen x ∈ G, β ∈ Ĝ tales que
< β, x >≠ 1. Sea Ĝ −→ ϕ G(H ∗ ) el morfismo de grupos dado por ϕ(χ) = χ ◦ π para todo χ ∈ Ĝ.
Entonces β ◦ π ∈ G(H ∗ ), γ(x) ∈ G y < β ◦ π, γ(x) > =< β, π ◦ γ(x) >= < β, x >≠ 1.
Supongamos ahora que H no es una bosonización de k[G]. Mostraremos que para todo β ∈
G(H ∗ ι
), x ∈ G, < β, x >= 1. Sea k[G] −→ H la inclusión del álgebra de grupo en H. Como G(H ∗ ) es
no trivial, se tiene un epimorfismo de álgebras de Hopf H −→ π k G(H∗) , dado por < π(h), β >=< β, h >
para todo h ∈ H, β ∈ G(H ∗ ).
Afirmación 1. π(x) = 1 k G(H ∗ ) para todo x ∈ G.
Al ser G(H ∗ ) abeliano, se tiene que k G(H∗) ≃ k[Ĝ(H∗ )] ≃ k[G] como álgebras de Hopf. Más aún,
la composición de estos isomorfismos con π induce un epimorfismo de álgebras de Hopf H −→ τ ′
k[G]. Si
existe x ∈ G tal que π(x) ≠ 1 k G(H ∗ ), entonces τ ′ (x) ≠ 1 y la restricción τ ′ ◦ι define un automorfismo
de k[G], por ser |G| = p un número primo. Definamos ahora τ : H → k[G] via τ = (τ ′ ◦ ι) −1 ◦ τ ′ .
Entonces τ ◦ ι = id k[G] y H es una bosonización de k[G], lo cual es una contradicción.
Por lo tanto para todo β ∈ G(H ∗ ), x ∈ G tenemos que < β, x >=< π(x), β >= < 1 k G(H ∗ ), β >=
1, lo cual prueba (a).
(b) Sea H τ ′
−→ k[G] el epimorfismo definido en la demostración de la Afirmación 1.
Afirmación 2. τ ′ | G define un automorfismo de G.
Supongamos por el contrario, que τ ′ | G no define un automorfismo de G. Entonces existe h ∈ G
tal que h ≠ 1 y τ ′ (h) = 1; en particular, h ∈ H co τ ′ .
Por otro lado, dim H co τ ′ = p, puesto que dim k G(H∗) = |Ĝ(H∗ )| = |G|, y dim H = p|G| =
dim H co τ ′ dim k G(H∗) , por el Teorema 1.1.23. Al ser p primo, se sigue que ord h = p y k < h >=
H co τ ′ . En particular, se tiene la sucesión exacta de álgebras de Hopf de dimensión finita
1 → k < h > ι −→ H τ ′
−→ k[G] → 1,
lo que implica, como es sabido, que H es semisimple, lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, el automorfismo τ ′ | G define un automorfismo de álgebras de Hopf en k[G], y H es
una bosonización de k[G].
Observación 3.1.14. Si se examinan las álgebras de Hopf de la lista (a), . . . , (k) en la introducción,
se ve que los casos (d), (e), (f) y (i) son bosonizaciones. En el caso (d), es claro que el álgebra
de Hopf dada por el producto tensorial es la bosonización de k[Z/(p)] y por la proposición anterior
también es una bosonización de k[Z/(p)×Z/(p)]. Los casos (e) y (f) son bosonizaciones de k[Z/(p 2 )]
y las álgebras de Hopf libro h(q, m) del caso (i) son bosonizaciones de k[Z/(p)]. En el caso de las
álgebras libro, Andruskiewitsch y Schneider probaron en [AS2] que también son bosonizaciones del
álgebra de Taft, i.e. son isomorfas al producto smash R#T (q). Más aún, también probaron que las
álgebras R son todas las álgebras de Hopf no semisimples de orden p en la categoría de módulos de
Yetter-Drinfeld sobre T (q), salvo isomorfismos.