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3.2. ÁLGEBRAS DE HOPF CUASITRIANGULARES DE DIMENSIÓN P 3 41
clases de isomorfismo de H-comódulos simples a izquierda. Definimos entonces
H 0,d =
⊕
H τ .
τ∈Ĥ: d τ =d
Por ejemplo, H 0,1 = k[G(H)] y H 0,2 es la suma de todas las subcoálgebras simples de dimensión 4
de H. Por [AN, Lemma 2.1 (i)], el orden de G(H) divide a la dimensión de H 0,d para todo d ≥ 1.
Teorema 3.2.12. Sea H un álgebra de Hopf cuasitriangular de dimensión 27. Entonces H es
un álgebra de grupo o H es isomorfa a u q (sl 2 ) para algún q ∈ G 3 {1}. Más precisamente, H es
isomorfa sólo a un álgebra de Hopf de la siguiente lista, donde q ∈ G 3 {1},
(a) k[Z/(27)]
(b) k[Z/(9) × Z/(3)]
(c) k[Z/(3) × Z/(3) × Z/(3)]
(d) u q (sl 2 )
Demostración. Por el Teorema 3.2.10, basta mostrar que no existe álgebra de Hopf cuasitriangular
H de dimensión 27 que satisface (iii).
Supongamos que tal álgebra de Hopf existe. Como H es no semisimple, por el Teorema 1.1.20 H
tampoco es cosemisimple. Más aún, por el Corolario 3.1.16 y la Proposición 3.1.13 (a), H no posee
elementos casi-primitivos no triviales.
Sea H 0 = k[G(H)]⊕M c (n 1 , k)⊕· · ·⊕M c (n t , k), el corradical de H, donde 2 ≤ n 1 ≤ · · · ≤ n t ≤ 3,
pues 3| dim H 0,d para todo d ≥ 1. Más aún, como H no es cosemisimple, se tienen las siguientes
posibilidades para H 0 :
(1) H 0 = k[G(H)] ⊕ M c (3, k), con dim H 0 = 12,
(2) H 0 = k[G(H)] ⊕ M c (2, k) 3 , con dim H 0 = 15,
(3) H 0 = k[G(H)] ⊕ M c (3, k) 2 , con dim H 0 = 21,
(4) H 0 = k[G(H)] ⊕ M c (2, k) 3 ⊕ M c (3, k), con dim H 0 = 24.
Puesto que todos los elementos casi-primitivos de H son triviales, por [BD, Cor. 4.3] se tiene que
27 = dim H > dim H 1 ≥ (1 + 2n 1 )3 +
t∑
n 2 i . (3.4)
Reemplazando las dimensiones correspondientes en la ecuación (3.4), se sigue que ninguno de los
casos (1), . . . , (4) es posible.
i=1