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96 A.1. SUBÁLGEBRAS MAXIMALES NO REGULARES
Demostración. Sea 0 ≤ k ≤ n − 1. Entonces
k(k + 2) + (n − 1 − k)(2n − 2k − 1) + 1 = 2n 2 + 3k 2 + 5k − 3n − 4nk + 2 < 2n 2
⇔ 3k 2 + 5k − 3n − 4nk + 2 < 0
⇔ 3k(k − n) + 3(k − n) + k(2 − n) + 2 < 0
⇔ −(n − k)(3k + 3) − k(n − 2) + 2 < 0
lo cual es siempre cierto, pues (n − k) > 0.
Caso 3: g de tipo D n . Debemos verificar la desigualdad
k(k + 2) + (n − 1 − k)(2n − 2k − 3) + 1 < 2n 2 − 2n para todo 0 ≤ k ≤ n − 1. (A.7)
Demostración. Sea 0 ≤ k ≤ n − 1. Entonces
k(k + 2) + (n − 1 − k)(2n − 2k − 3) + 1 = 2n 2 + 3k 2 + 7k − 5n − 4nk + 4 < 2n 2 − 2n
⇔ 3k 2 + 7k − 3n − 4nk + 4 < 0
⇔ 3k(k − n) + 3(k − n) − nk + 4k + 4 < 0
⇔ 3k(k − n) + 3(k − n) + k(4 − n) + 4 < 0
⇔ −(3k + 3)(n − k) − k(n − 4) + 4 < 0
lo cual es siempre cierto, pues (n − k) > 0 y n ≥ 4.
A.2.
Subálgebras maximales no regulares de las álgebras de Lie
simples excepcionales
Las subálgebras maximales no regulares, i.e. los casos (II) y (III), de las subálgebras de Lie
excepcionales están dadas por el siguiente teorema. De la Tabla A.3 se deduce que todas dichas
subálgebras verifican la desigualdad (A.2).
Teorema A.2.1. [D1, Thm. 14.1] La Tabla A.3 da todas las subálgebras maximales no regulares
de álgebras de Lie simples excepcionales.
En la tercera columna denotamos el tipo de la subálgebra maximal m de g.
A.3.
Subálgebras maximales no regulares de las álgebras de Lie
simples clásicas
En esta sección recordamos la clasificación de los subgrupos maximales irreducibles de los grupos
de Lie clásicos dada por Dynkin en [D2]. Allí se determinan todos los subgrupos maximales de los
grupos clásicos: el grupo SL N de todas las matrices complejas de N ×N con determinante 1, el grupo
SO(N) de todas las matrices complejas ortogonales de N ×N con determinante 1 y el grupo Sp(N)
de todas las matrices complejas simplécticas de N × N. Esta clasificación se divide, al igual que
antes, en subgrupos maximales irreducibles simples y subgrupos maximales irreducibles no simples.