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5.2. CONSTRUCCIÓN DE SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS 79
Luego, podemos suponer sin pérdida de generalidad que a es una función coordenada de una representación
M de u ɛ (g) de dimensión finita. Puesto que s es simplemente el morfismo dado por
la restricción y a ∈ Ker s, se tiene que a debe ser trivial en toda base de u ɛ (l), en particular la
siguiente:
{ ∏
β≥0
F n β
β
·
n∏
i=1
K t i
α i · ∏
α≥0
E m α
α : 0 ≤ n β , t i , m α < l, β ∈ Q I− , 1 ≤ i ≤ n, α ∈ Q I+
}.
Por otro lado, sabemos por la Proposición 4.1.17 que existe un epimorfismo de álgebras ϕ :
Γ ɛ (g) → u ɛ (g) tal que ϕ| uɛ (g) = id. Por lo tanto, el u ɛ (g)-módulo M admite una estructura de Γ ɛ (g)-
módulo vía ϕ. Como M es de dimensión finita y Kα l i
actúa por la identidad para todo 1 ≤ i ≤ n, se
sigue que cada operador K αi es diagonalizable con autovalores ɛ m i para algún m ∈ N. Esto implica,
por definición, que toda función coordenada ϕ ∗ (a) del Γ ɛ (g)-módulo M está contenida en O ɛ (G) Q(ɛ) .
Luego, usando la definición de ϕ se tiene que Res ϕ ∗ (a) debe anular al conjunto
{ ∏
I l = Q(ɛ)
β≥0
F (n β)
β
·
n∏
i=1
( )
Kαi ; 0
K Ent(t i/2)
α
t i
· ∏
E (m α)
α :
i
α≥0
∃ n β , t i , m α ≢ 0 mod (l) con β ∈ Q I− , 1 ≤ i ≤ n, α ∈ Q I+
}.
Pero por el Lema 5.2.2, tenemos que Γ(l) = I l ⊗Θ l como R-módulos libres y por la Observación 5.2.5
(b), tenemos que Ker F r = I l y la aplicación Θ l /[χ l (q)Θ l ] → U(l) Q(ɛ) inducida por la restricción
del morfismo cuántico de Frobenius Fr es biyectiva. Entonces existe b ∈ U(l) ◦ Q(ɛ) tal que t Fr(b) =
Res(ϕ ∗ (a)) y se tiene que
P (a) = P (π(ϕ ∗ (a))) = π L (Res(ϕ ∗ (a))) = π L (j(b)) = ε(b) = ε(a) = 0,
y a ∈ Ker P . En conclusión Ker s ⊆ Ker P y por lo tanto existe un epimorfismo u ɛ (l) ∗ → O ɛ (L) Q(ɛ)
.
Observación 5.2.10. La proposición anterior da el siguiente diagrama conmutativo de sucesiones
exactas de álgebras de Hopf
1 ι
O(G) Q(ɛ)
π
O ɛ (G) Q(ɛ)
u ɛ (g) ∗
1
(5.10)
res
Res
1 O(L) Q(ɛ)
ι L
O ɛ (L) Q(ɛ)
π L u ɛ (l) ∗ 1
P
5.2.2. Segundo Paso
En lo que sigue consideraremos la forma compleja de las álgebras definidas anteriormente:
O(G) = O(G) Q(ɛ) ⊗ Q(ɛ) C, O ɛ (G) = O ɛ (G) Q(ɛ) ⊗ Q(ɛ) C,
O(L) = O(L) Q(ɛ) ⊗ Q(ɛ) C, O ɛ (L) = O ɛ (L) Q(ɛ) ⊗ Q(ɛ) C,
y denotaremos simplemente como u ɛ (g) y u ɛ (l) a las C-formas de los núcleos de Frobenius-Lusztig.