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86 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS CUÁNTICOS FINITOS
Sean Ǔɛ(b + ) y Ǔɛ(b − ) las subálgebras de Borel de la forma simplemente conexa Ǔɛ(g) del álgebra
envolvente cuantizada de g (ver Definición 4.1.1), y sea A ɛ la subálgebra de Ǔɛ(b + )⊗Ǔɛ(b − ) generada
por los elementos
{1 ⊗ e j , f j ⊗ 1, K −λ ⊗ K λ : 1 ≤ j ≤ n, λ ∈ P },
donde P es el reticulado de pesos con P = ⊕ n
i=1 Zϖ i ⊆ h ∗ . Por [DL, Sec. 4.3], esta álgebra tiene una
base dada por el conjunto {fK −λ ⊗ K λ e} con λ ∈ P y e, f monomios en e α y f β respectivamente,
α, β ∈ Q + . Más aún, A ɛ es un álgebra graduada por (Q − , P, Q + ), donde la graduación está dada
por
deg(f j ⊗ 1) = (−α j , 0, 0), deg(1 ⊗ e j ) = (0, 0, α j ), deg(K −λ ⊗ K λ ) = (0, λ, 0),
para todo 1 ≤ j ≤ n, λ ∈ P . Más aún, por [DL, Lemma 4.3 y Prop. 6.5], existe un morfismo
inyectivo de álgebras µ ɛ : O ɛ (G) → A ɛ tal que µ ɛ (O(G)) ⊆ A 0 , donde A 0 es la subálgebra de A ɛ
generada por los elementos
{1 ⊗ e l j, f l j ⊗ 1, K −lλ ⊗ K lλ : 1 ≤ j ≤ n, λ ∈ P }.
Por lo tanto, basta mostrar que µ ɛ (Ker Res) ⊆ µ ɛ (Ker q).
Afirmación: µ ɛ (Ker Res) es el ideal I generado por los elementos
{1 ⊗ e k , f j ⊗ 1 : α k /∈ I − , α j /∈ I + }.
En efecto, por [DL, Sec. 4.4] existen coeficientes matriciales ψ ±α
±λ , λ ∈ P + y α ∈ R + tales que
ψ λ (F ME) = δ 1,E δ 1,F M(λ),
ψ α −λ (EMF ) = ψ −λ (EMF E α),
ψ −λ (EMF ) = δ 1,E δ 1,F M(−λ),
ψ −α
−λ (EMF ) = ψ −λ (F αEMF ),
para todo elemento F ME de la base PBW de Γ ɛ (g), donde M ∈ Q y la forma M(λ) es simplemente
la extensión lineal de la forma bilineal < α j , λ >= ɛ d i(α i ,λ) para todo λ ∈ P , 1 ≤ i ≤ n. Más aún,
se tiene que
µ ɛ (ψ −ϖi ) = K −ϖi ⊗ K ϖi , µ ɛ (ψ α k
−ϖ i
) = K −ϖi ⊗ K ϖi e k ,
µ ɛ (ψ −α j
−ϖ i
) = f j K −ϖi ⊗ K ϖi ,
para todo 1 ≤ i, j ≤ n. A través de un cálculo directo se ve que ψ α k
−ϖ i
, ψ −α j
−ϖ i
∈ Ker Res y además
µ ɛ (ψ ϖi ψ α k
−ϖ i
) = 1 ⊗ e k
µ ɛ (ψ −α j
−ϖ i
ψ ϖi ) = f j ⊗ 1.
para todo α k /∈ I − , α j /∈ I + . Por lo tanto, los generadores de I están en µ ɛ (Ker Res).
Supongamos ahora que h ∈ Ker Res y veamos que µ ɛ (h) ∈ I. Si h ∈ Ker Res, entonces h| Γɛ(l) = 0
y por definición se tiene que
< µ ɛ (h), EM ⊗ NF >=< h, EMNF >= 0,
para todo elemento EMNF de la base PBW de Γ ɛ (l). Así, usando la existencia de apareamientos
perfectos (ver [DL, Sec. 3.2]) y evaluando en elementos adecuados, se sigue que todo término de la
base {fK −λ ⊗ K λ e} que aparece en µ ɛ (h) debe estar en I.