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22 CAPÍTULO 2. EXTENSIONES DE ÁLGEBRAS DE HOPF
y por lo tanto, S m−i son antimorfismos de coálgebras: sea a ∈ A, entonces
∆(S i π(S m−i (a))) = (S i π(S m−i (a))) (1) ⊗ (S i π(S m−i (a))) (2)
= S i ((π(S m−i (a))) (2) ) ⊗ S i ((π(S m−i (a))) (1) )
= S i (π((S m−i (a)) (2) )) ⊗ S i (π((S m−i (a)) (1) ))
= S i (π(S m−i (a (1) )))S i (π(S m−i (a (2) )))
= (S i πS m−i ⊗ S i πS m−i )(∆(a)),
Como por hipótesis S(K) = K, se tiene que Im ˜π ⊆ Im π = K. Sea x ∈ Im π, entonces S m−i (x) ∈
Im π para todo 1 ≤ i ≤ m, y por ende π(S m−i (x)) = S m−i (x). Esto implica que ˜π(x) = x = π(x)
para todo x ∈ Im π, y por lo tanto Im π ⊆ Im ˜π. Más aún, para todo x ∈ A se tiene que ˜π 2 (x) =
π(˜π(x)) = ˜π(x) de donde se sigue que ˜π también es una proyección de coálgebras.
Sea D = Ker ˜π. Entonces D es un coideal de A que satisface A = K ⊕ D y S(D) = D porque ˜π
conmuta con la antípoda de A.
Mostraremos ahora que en algunos casos especiales el ideal bilátero ((id −jξ)(M r )) de A p es un
ideal de Hopf.
Proposición 2.3.9. Sea D como en (2.10). Supongamos que ξ(a) = 0, para todo a ∈ D ∩ M r
y el morfismo ξ| F : F → G(K) define un morfismo de grupos. Entonces I r,ξ = ((id −jξ)(M r )).
Demostración. Como S(D) = D, se tiene que S(D∩M r ) ⊆ D∩M r , pues M r es un ideal de Hopf.
Por lo tanto, el ideal bilátero I r := (D ∩ M r ) es un ideal de Hopf y coincide con ((id −jξ)(D ∩ M r )).
Por otro lado, si KF + denota al ideal de Hopf de KF dado por K(k[F ] + ), entonces KF ∩ M r =
(KF ) + = K + F + KF + y
((id −jξ)(KF ∩ M r )) = ((id −jξ)(KF + )) = ((id −jξ)(F )),
ya que ξ es un morfismo de K-módulos tal que ξ K = id K . Luego, si ξ| F define un morfismo de
grupos se sigue que I ξ := ((id −jξ)(F )) es un ideal de Hopf y I r,ξ = I r + I ξ = ((id −jξ)(M r )).
La siguiente proposición nos muestra bajo qué condiciones, existen retracciones ξ que satisfacen
las hipótesis de la Proposición 2.3.9.
Proposición 2.3.10. Supongamos que A p = KF ⊕ D donde D es un K-módulo coideal. Sea
β : F → G(K) un morfismo de grupos tal que βq| ι(G(B)) = p| G(B) . Entonces existe una retracción
ξ : A p → K tal que ξ| F = β y ξ| D = 0.
Demostración. Como A p = KF ⊕ D como K-módulos, basta definir ξ en D y KF . Como KF
es de dimensión finita, por el Teorema 1.1.23, KF es un K-módulo libre de rango m = |F |/|G(K)|.
Sea {e 1 , . . . , e m } una base de KF que consiste de un conjunto de representantes de coclases a
izquierda de F/G(K) tal que e 1 = 1. Definimos ̂β como el único morfismo K-lineal dado por
̂β(e i ) = β(e i ). Luego, definimos ξ| D = 0 y ξ| KF = ˆβ. Claramente, ξ es un morfismo de K-módulos
tal que ξ(1) = ˆβ(1) = β(1) = 1 y ξ(a) = ξ(a · 1) = ˆβ(a · 1) = a ˆβ(1) = a para todo a ∈ K.